Accelerația centripetă

O mașină parcurge un sens giratoriu, iar acul vitezometrului nici nu se clintește. Șoferul nu accelerează și nu frânează, și totuși mașina are accelerație. Accelerația nu măsoară cum se schimbă numărul de pe vitezometru, ci cum se schimbă întreaga săgeată a vitezei. Iar aceasta se rotește în curbă. La mișcarea circulară uniformă accelerația este îndreptată mereu spre centrul cercului și de aceea se numește accelerație centripetă.

Dacă îți trebuie doar formula: un corp care se mișcă cu viteza v pe un cerc de rază r are accelerația centripetă

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

unde ω este viteza unghiulară. Încotro este îndreptată accelerația și de unde vine formula, vom arăta pe figuri.

Săgeata vitezei se rotește mereu

Accelerația spune cum se schimbă viteza în unitatea de timp. Viteza este însă un vector, o săgeată, iar aceasta se poate schimba în două feluri: se alungește sau se scurtează, ori se rotește. La mersul pe o dreaptă săgeata doar se întinde și se scurtează, ceea ce corespunde pornirii și frânării. Pe cerc este tocmai invers. Lungimea săgeții nu se schimbă, pentru că corpul merge tot timpul la fel de repede, dar săgeata este tangentă la cerc și astfel se rotește puțin cu fiecare bucățică de arc. Chiar și simpla rotire a săgeții este o schimbare a vitezei și deci o accelerație.

O greșeală frecventă este să se afirme că mișcarea circulară uniformă nu are accelerație, pentru că viteza rămâne aceeași. Aceeași rămâne doar mărimea ei. Dacă accelerația ar fi nulă, săgeata vitezei nu s-ar putea schimba deloc, nici ca lungime, nici ca direcție, iar corpul ar merge drept. Fără accelerație nu se poate vira.

Animația arată un punct care se rotește pe cerc cu viteză constantă. Săgeata roșie a vitezei se rotește odată cu el, iar săgeata verde a accelerației arată în fiecare moment spre centru.

Săgeata verde este mereu perpendiculară pe cea roșie. Accelerația nu are deci nicio componentă în sensul mersului sau în sens opus, așa că mărimea vitezei nu se schimbă. Întreaga accelerație servește doar la rotirea săgeții. De ce arată tocmai spre centru și cât de mare este, ne dezvăluie figura.

Cât de mare este accelerația centripetă

Să urmărim punctul doar o clipă scurtă Δt. În acest timp el se deplasează din locul A în locul B și parcurge distanța

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

În figură bucățica aceasta de mișcare apare de două ori. În stânga vezi triunghiul albastru al pozițiilor: centrul cercului și punctele A și B. Două dintre laturile lui sunt razele r, a treia este segmentul AB. Într-o clipă scurtă arcul este aproape drept, deci segmentul AB are practic lungimea Δs. În dreapta găsești triunghiul verde al vitezelor: ambele săgeți ale vitezei duse din același punct și diferența lor $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, care merge de la vârful lui ${\overrightarrow{v}}_1$ la vârful lui ${\overrightarrow{v}}_2$. Ambele săgeți ale vitezei au lungimea v.

Pentru claritate, unghiul este desenat mare, dar tu închipuie-ți-l destul de mic. Esențial este că ambele triunghiuri au la vârf același unghi φ. Săgeata vitezei este mereu perpendiculară pe rază, așa că atunci când raza se rotește cu unghiul φ, cu același unghi se rotește și săgeata vitezei. Raza și săgeata sunt legate ca brațele literei L: dacă rotești un braț, se rotește toată litera. Ambele triunghiuri sunt isoscele, cu același unghi între laturile congruente. Au deci aceeași formă și se deosebesc doar prin mărime: sunt asemenea. La triunghiuri asemenea raportul dintre bază și latura congruentă este același:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

În cuvinte: săgeata verde este de câte ori mai scurtă decât săgeata vitezei, de atâtea ori este segmentul AB mai scurt decât raza. În locul lui Δs înlocuim v · Δt și transformăm ecuația:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

În partea stângă stă variația vitezei în unitatea de timp, adică accelerația:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{v^2}{r}$$

Am trișat puțin, pentru că segmentul AB este cu un fir mai scurt decât arcul. Cu cât însă urmărim o clipă mai scurtă, cu atât segmentul se suprapune mai bine peste arc, iar pentru accelerația momentană luăm o clipă atât de scurtă încât diferența nu se mai observă. Formula este deci exactă.

Figura dezvăluie și direcția. Săgeata verde $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ arată în jos, la fel ca dreapta care unește mijlocul segmentului AB cu centrul cercului. Pentru un unghi mic este aproape perpendiculară pe ambele săgeți ale vitezei, iar perpendiculară pe tangentă este raza. Variația vitezei, și odată cu ea accelerația, arată deci spre centru.

Se potrivesc și unitățile:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Formula se comportă, în plus, rezonabil. Cu cât corpul merge mai repede, cu atât săgeata vitezei este mai lungă și se rotește mai repede. Ambele măresc accelerația, de aceea în formulă viteza este la pătrat. Pe măsură ce raza crește, cercul se îndreaptă și accelerația scade. La o rază uriașă o bucată de cerc este aproape o dreaptă, iar accelerația aproape nulă, exact cum trebuie să fie la mersul drept cu viteză constantă.

A doua formă a formulei se obține dacă înlocuim viteza cu expresia v = ω · r:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Aici e ușor să te împiedici. În prima formă raza stă la numitor, în a doua la numărător. Accelerația crește cu raza sau scade? Ambele sunt adevărate, numai că de fiecare dată rămâne neschimbat altceva. La aceeași viteză o curbă mai largă este mai blândă, accelerația este mai mică. La aceeași viteză unghiulară, de exemplu pe carusel, calul de la margine are viteza mai mare și deci și accelerația mai mare decât calul de lângă centru.

Un sfert de sens giratoriu

Să revenim la sensul giratoriu. Mașina merge pe el cu 54 km/h, adică 15 m/s, și parcurge un sfert din sensul giratoriu în 3 s. Din săgeata vitezei de la începutul și de la sfârșitul sfertului rezultă o accelerație medie de aproximativ 7,1 m/s² spre centru. Dar care este accelerația în fiecare moment?

Avem nevoie de rază. În 3 s mașina parcurge 15 m/s · 3 s = 45 m, iar aceasta este un sfert din lungimea cercului:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Acum îl punem în formulă. Raza o lăsăm ca fracție, ca să nu rotunjim în rezultatul intermediar, iar împărțirea la o fracție este înmulțirea cu inversa ei:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Accelerația momentană este 7,85 m/s², mai mult decât accelerația medie de 7,1 m/s². Este aproximativ cât reușește o mașină la o frânare la maximum pe asfalt uscat, deci un sens giratoriu atât de mic este chiar strâns pentru 54 km/h. Cum se face că numerele diferă, dacă accelerația are aceeași mărime tot timpul? Accelerația medie pornește doar de la prima și ultima săgeată a vitezei și de la diferența lor. Închipuie-ți toate săgețile vitezei din acel sfert de sens giratoriu, duse din același punct. Vârfurile lor descriu un sfert de cerc de rază 15 m/s. Accelerația momentană arată cât de repede înaintează vârful pe acest arc. Accelerația medie lucrează doar cu dreapta care unește primul și ultimul vârf, iar aceasta este mai scurtă decât arcul. La fel se deosebesc deplasarea și distanța parcursă: în linie dreaptă este întotdeauna mai aproape.

Numerele le putem verifica. Arcul este un sfert din lungimea cercului de rază 15 m/s, adică $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Dreapta care unește vârfurile este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de 15 m/s, deci 21,2 m/s. Pe amândouă le împărțim la trei secunde:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Primul număr este accelerația momentană din formulă, al doilea cea medie. Cu cât porțiunea de sens giratoriu este mai scurtă, cu atât arcul și dreapta se suprapun mai bine, iar accelerația medie se apropie de cea momentană.

Mașina în curbă

Acum mașina merge cu aceiași 54 km/h într-o curbă mai largă, cu raza de 50 m. Ce accelerație are? Scriem ce știm și transformăm imediat viteza în metri pe secundă:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_{\mathrm{cp}}& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Înlocuim în formulă:

$$a_{\mathrm{cp}}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Față de sensul giratoriu accelerația este aproape la jumătate, o curbă mai largă este mai blândă. Dar atenție la viteză, ea este în formulă la pătrat. Dacă mașina intră în aceeași curbă de două ori mai repede, are o accelerație de patru ori mai mare, 18 m/s², iar o asemenea accelerație nu o mai poate atinge nicio mașină pe șosea. De aceea se frânează înainte de curbă, și nu abia în ea. Accelerația de 4,5 m/s² nu este deloc de disprețuit, este aproximativ cât la o frânare energică. Doar că este îndreptată lateral.

Pământul în jurul Soarelui

Pământul înconjoară Soarele cu viteza de aproximativ 30 km/s, adică 3 · 10⁴ m/s, la o distanță de aproximativ 1,5 · 10¹¹ m. Viteza o putem verifica: un ocol complet durează un an, aproximativ 3,16 · 10⁷ s, deci

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Orbita Pământului nu este exact un cerc, dar este foarte aproape de el, așa că putem înlocui în formulă:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Aceasta este doar 0,006 m/s². Săgeata vitezei se schimbă în fiecare secundă cu doar șase milimetri pe secundă, o nimica toată pe lângă o viteză de treizeci de kilometri pe secundă. Într-o secundă Pământul parcurge 30 km și se abate de la dreaptă doar cu $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$. Dar un an are peste treizeci de milioane de secunde, așa că în decurs de un an săgeata vitezei se rotește complet, iar orbita Pământului se închide.

De ce centrifuga storce rufele

Tamburul mașinii de spălat, cu raza de 0,25 m, se rotește la stoarcere, la 1.200 rot/min, cu viteza unghiulară 40π rad/s. Acum ne folosește a doua formă a formulei:

$$\begin{array}{rl}{a}_{\mathrm{cp}}& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3.950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radianul este un simplu număr, deci din unități rămân metri pe secundă la pătrat. Accelerația este de peste patru sute de ori mai mare decât accelerația gravitațională g, deci peste 400g. Cine ar vrea să verifice din viteza peretelui tamburului, 31,4 m/s, și din formula $\frac{v^2}{r}$, obține același lucru.

Viteza unghiulară este în formulă la pătrat. O mașină de spălat care stoarce doar la 800 rot/min se rotește cu o treime mai încet, dar accelerația este de mai mult de două ori mai mică: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, adică aproximativ 1.750 m/s². De aceea scoți de la o stoarcere lentă rufe vizibil mai ude.

Ce rezultă de aici pentru rufe? Ca să se rotească odată cu tamburul, o picătură de apă trebuie să vireze neîncetat, și încă cu o accelerație enormă. Ciorapul îl ține pe cerc peretele tamburului, dar în perete sunt găuri. O picătură care ajunge deasupra unei găuri nu mai are nimic care s-o facă să vireze. Încetează să vireze și merge mai departe drept, pe tangentă, în afara tamburului. Ciorapul rămâne înăuntru, iar apa este afară. Ce anume obligă corpurile să vireze este o problemă de forțe. Cinematica ne-a spus cât de multă accelerație cere o astfel de virare, iar la mașina de spălat este într-adevăr foarte multă.

Am descris astfel mișcarea, dar nu și cauza ei. Ce face corpurile să pornească, să frâneze și să vireze explică forțele, iar cu ele începe a doua parte a categoriei, articolul Forța.