Centripetalacceleration

Bilen kører gennem en rundkørsel, og viseren på speedometeret rokker sig ikke. Føreren hverken giver gas eller bremser, og alligevel har bilen en acceleration. Acceleration måler nemlig ikke, hvordan tallet på speedometeret ændrer sig, men hvordan hele hastighedspilen ændrer sig. Og den drejer i svinget. Ved jævn cirkelbevægelse peger accelerationen altid mod cirklens centrum, og derfor har den fået navnet centripetalacceleration.

Hvis du kun leder efter formlen: Et legeme, der kredser med farten v langs en cirkel med radius r, har centripetalaccelerationen

$$a_c=\frac{v^2}{r}={\omega }^2\cdot r,$$

hvor ω er vinkelhastigheden. Hvor accelerationen peger hen, og hvor formlen kommer fra, viser vi på figurerne.

Hastighedspilen drejer hele tiden

Acceleration fortæller, hvordan hastigheden ændrer sig pr. tidsenhed. Men hastighed er en vektor, en pil, og den kan ændre sig på to måder: Den kan blive længere eller kortere, eller den kan dreje. Ved kørsel langs en ret linje bliver pilen kun forlænget og forkortet, hvilket svarer til at sætte i gang og bremse. På en cirkel er det stik modsat. Pilens længde ændrer sig ikke, for legemet kører stadig lige hurtigt, men pilen peger langs tangenten til cirklen, og derfor drejer den en smule for hvert stykke af buen. Selve det, at pilen drejer, er en ændring af hastigheden og dermed acceleration.

En udbredt misforståelse er at påstå, at jævn cirkelbevægelse ikke har nogen acceleration, fordi hastigheden forbliver den samme. Det er kun dens størrelse, der er den samme. Hvis accelerationen var nul, måtte hastighedspilen slet ikke ændre sig, hverken i længde eller retning, og legemet ville køre lige ud. Man kan ikke dreje uden acceleration.

Animationen viser et punkt, der kredser med konstant fart langs en cirkel. Den røde hastighedspil drejer med det, den grønne accelerationspil peger i ethvert øjeblik mod centrum.

Den grønne pil står hele tiden vinkelret på den røde. Accelerationen har derfor ingen komposant i kørselsretningen eller mod den, og farten ændrer sig dermed ikke. Hele accelerationen bruges på at dreje pilen. Hvorfor den peger netop mod centrum, og hvor stor den er, afslører figuren.

Hvor stor er centripetalaccelerationen

Vi følger punktet kun et kort øjeblik Δt. I den tid flytter det sig fra stedet A til stedet B og tilbagelægger strækningen

$$\mathrm{\Delta }s=v\cdot \mathrm{\Delta }t.$$

På figuren er dette stykke bevægelse vist to gange. Til venstre ser du den blå trekant af positioner: cirklens centrum og punkterne A og B. To af dens sider er radier r, den tredje er linjestykket AB. I et kort øjeblik er buen næsten ret, så linjestykket AB er praktisk talt Δs langt. Til højre finder du den grønne trekant af hastigheder: begge hastighedspile afsat fra samme punkt og deres forskel $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$, som går fra spidsen af ${\overrightarrow{v}}_1$ til spidsen af ${\overrightarrow{v}}_2$. Begge hastighedspile er v lange.

For overskuelighedens skyld er vinklen tegnet stor, men forestil dig den ret lille. Det afgørende er, at begge trekanter har den samme vinkel φ i toppunktet. Hastighedspilen er nemlig altid vinkelret på radius, så når radius drejer sig vinklen φ, drejer hastighedspilen sig den samme vinkel. Radius og pil hænger sammen som benene i bogstavet L: Drejer du det ene ben, drejer hele bogstavet. Begge trekanter er ligebenede med den samme vinkel mellem benene. De har derfor samme form og adskiller sig kun i størrelse: De er ligedannede. I ligedannede trekanter er forholdet mellem grundlinje og ben det samme:

$$\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}=\frac{\mathrm{\Delta }s}{r}$$

Med ord: Den grønne pil er lige så mange gange kortere end hastighedspilen, som linjestykket AB er kortere end radius. For Δs indsætter vi v · Δt og omskriver ligningen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{\mathrm{\Delta }v}{v}& =& \frac{v\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/\cdot v\\ \mathrm{\Delta }v& =& \frac{v^2\cdot \mathrm{\Delta }t}{r}/:\mathrm{\Delta }t\\ \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}& =& \frac{v^2}{r}\end{array}$$

På venstre side står hastighedsændringen pr. tidsenhed, og det er accelerationen:

$$a_c=\frac{v^2}{r}$$

Vi snød lidt, for linjestykket AB er en lille smule kortere end buen. Men jo kortere et øjeblik vi følger, desto mere falder linjestykke og bue sammen, og til den øjeblikkelige acceleration tager vi et øjeblik så kort, at vi ikke kan se forskel. Formlen gælder derfor præcist.

Figuren afslører også retningen. Den grønne pil $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}$ peger nedad, ligesom forbindelseslinjen fra midtpunktet af linjestykket AB til cirklens centrum. For en lille vinkel står den næsten vinkelret på begge hastighedspile, og vinkelret på tangenten går radius. Hastighedsændringen, og dermed accelerationen, peger altså mod centrum.

Enhederne passer også:

$$\frac{(\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{\mathrm{m}}=\frac{{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{\mathrm{m}}={\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Formlen opfører sig desuden fornuftigt. Jo hurtigere legemet kører, desto længere er hastighedspilen, og desto hurtigere drejer den. Begge dele forøger accelerationen, derfor står farten i anden potens i formlen. Med voksende radius rettes cirklen ud, og accelerationen aftager. Ved en enorm radius er et stykke af cirklen næsten en ret linje og accelerationen næsten nul, præcis som den skal være ved kørsel ligeud med konstant fart.

Den anden form af formlen fås, når vi erstatter farten med udtrykket v = ω · r:

$$a_c=\frac{(\omega \cdot r{)}^2}{r}=\frac{{\omega }^2\cdot r^2}{r}={\omega }^2\cdot r$$

Her er det let at snuble. I den første form står radius i nævneren, i den anden i tælleren. Vokser accelerationen med radius, eller aftager den? Begge dele gælder, det er bare hver gang noget andet, der forbliver uændret. Ved samme fart er et bredere sving mildere, accelerationen er mindre. Ved samme vinkelhastighed, for eksempel på en karrusel, har hesten yderst større fart og dermed større acceleration end hesten nær midten.

En fjerdedel af rundkørslen

Lad os vende tilbage til rundkørslen. Bilen kører rundt i den med farten 54 km/h, altså 15 m/s, og en fjerdedel af rundkørslen tager den på 3 s. Ud fra hastighedspilen i begyndelsen og i slutningen af fjerdedelen fås en gennemsnitlig acceleration på cirka 7,1 m/s² mod centrum. Men hvad er accelerationen i hvert øjeblik?

Vi skal bruge radius. På 3 s kører bilen 15 m/s · 3 s = 45 m, og det er en fjerdedel af cirklens omkreds:

$$\begin{array}{rcl}\frac{2\pi \cdot r}{4}& =& 45\mathrm{m}/\cdot \frac{2}{\pi }\\ r& =& \frac{90\mathrm{m}}{\pi }\approx 28,6\mathrm{m}\end{array}$$

Nu hører det hjemme i formlen. Radius lader vi stå som brøk, så vi ikke afrunder et mellemresultat, og division med en brøk er multiplikation med dens reciprokke:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{v^2}{r}=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2\cdot \pi }{90\mathrm{m}}\\ & =\frac{225\pi }{90}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Den øjeblikkelige acceleration er 7,85 m/s², mere end de gennemsnitlige 7,1 m/s². Det er omtrent så meget, som bilen klarer ved fuld opbremsning på tør asfalt, så en så lille rundkørsel er ved 54 km/h virkelig skarp. Hvordan kan tallene være forskellige, når accelerationen hele tiden er lige stor? Den gennemsnitlige acceleration udregnes kun ud fra den første og den sidste hastighedspil og deres forskel. Forestil dig alle hastighedspilene fra den fjerdedel af rundkørslen, afsat fra ét punkt. Deres spidser beskriver en fjerdedel af en cirkel med radius 15 m/s. Den øjeblikkelige acceleration angiver, hvor hurtigt spidsen bevæger sig langs denne bue. Den gennemsnitlige acceleration bruger kun den rette forbindelseslinje mellem den første og den sidste spids, og den er kortere end buen. Sådan er det også med forskydning og strækning: Ad den lige vej er der altid kortere.

Tallene kan vi kontrollere. Buen er en fjerdedel af omkredsen af en cirkel med radius 15 m/s, altså $\frac{1}{4}\cdot 2\pi \cdot 15\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Forbindelseslinjen mellem spidserne er hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne 15 m/s, altså 21,2 m/s. Begge dividerer vi med tre sekunder:

$$\frac{23,6\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,85{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2,\frac{21,2\mathrm{m}/\mathrm{s}}{3\mathrm{s}}\approx 7,1{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Det første tal er den øjeblikkelige acceleration fra formlen, det andet den gennemsnitlige. Jo kortere et stykke af rundkørslen, desto mere falder buen og forbindelseslinjen sammen, og den gennemsnitlige acceleration nærmer sig den øjeblikkelige.

Bilen i svinget

Nu kører bilen med de samme 54 km/h i et bredere sving med radius 50 m. Hvad er dens acceleration? Vi skriver op, hvad vi ved, og omregner farten med det samme til meter pr. sekund:

$$\begin{array}{rl}v& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}=15\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ r& =50\mathrm{m}\\ a_c& =?({\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2)\end{array}$$

Vi sætter ind i formlen:

$$a_c=\frac{(15\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{50\mathrm{m}}=\frac{225{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}{50\mathrm{m}}=4,5{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2$$

Sammenlignet med rundkørslen er accelerationen næsten det halve, et bredere sving er mildere. Men pas på farten, den står i anden potens i formlen. Hvis bilen kører ind i samme sving dobbelt så hurtigt, er accelerationen fire gange så stor, 18 m/s², og det klarer ingen bil på vejen. Derfor bremser man før svinget og ikke først i det. Accelerationen 4,5 m/s² er slet ikke at kimse ad, det er omtrent som en kraftig opbremsning. Den peger bare til siden.

Jorden omkring Solen

Jorden kredser omkring Solen med en fart på cirka 30 km/s, altså 3 · 10⁴ m/s, i en afstand på cirka 1,5 · 10¹¹ m. Farten kan vi kontrollere: Ét omløb varer et år, cirka 3,16 · 10⁷ s, så

$$v=\frac{2\pi \cdot r}{T}=\frac{2\pi \cdot 1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}{3,16\cdot {10}^7\mathrm{s}}\approx 30.000\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Jordens bane er ikke præcis en cirkel, men den er meget tæt på, så vi kan sætte ind i formlen:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& =\frac{(3\cdot {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}{)}^2}{1,5\cdot {10}^{11}\mathrm{m}}=\frac{9\cdot {10}^8}{1,5\cdot {10}^{11}}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ & =6\cdot {10}^{-3}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Det er kun 0,006 m/s². Hastighedspilen ændrer sig hvert sekund med blot seks millimeter pr. sekund, på en fart af tredive kilometer i sekundet er det ingenting. På ét sekund flyver Jorden 30 km og afviger i den tid kun $\frac{1}{2}\cdot \mathrm{0,006}{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (1\mathrm{s}{)}^2=3\mathrm{mm}$ fra den rette linje. Men et år har over tredive millioner sekunder, og derfor drejer hastighedspilen sig på et år hele vejen rundt, og Jordens bane lukker sig.

Hvorfor vaskemaskinen centrifugerer vasketøjet

Vaskemaskinens tromle med radius 0,25 m drejer ved centrifugering på 1200 omdr./min med vinkelhastigheden 40π rad/s. Nu er den anden form af formlen praktisk:

$$\begin{array}{rl}{a}_c& ={\omega }^2\cdot r=(40\pi \mathrm{rad}/\mathrm{s}{)}^2\cdot 0,25\mathrm{m}\\ & =400{\pi }^2{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\approx 3950{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\end{array}$$

Radian er et rent tal, så af enhederne er der meter pr. sekund i anden tilbage. Accelerationen er over firehundrede gange større end tyngdeaccelerationen g, altså over 400g. Den, der vil kontrollere det ud fra tromlevæggens fart 31,4 m/s og formlen $\frac{v^2}{r}$, får det samme.

Vinkelhastigheden står i anden potens i formlen. En vaskemaskine, der centrifugerer med kun 800 omdr./min, drejer en tredjedel langsommere, men har mindre end halvt så stor acceleration: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$, altså cirka 1750 m/s². Derfor tager du mærkbart vådere vasketøj ud efter en langsom centrifugering.

Hvad betyder det for vasketøjet? For at en vanddråbe kan følge tromlen rundt, må den hele tiden dreje, og det med enorm acceleration. En sok på cirklen holdes af tromlens væg, men væggen har huller. En dråbe, der kommer hen over et hul, har intet, der drejer den. Den holder op med at dreje og fortsætter lige ud langs tangenten, ud af tromlen. Sokken bliver inde, og vandet kommer ud. Hvad der præcis tvinger legemerne til at dreje, er et spørgsmål om kræfter. Kinematikken har fortalt os, hvor stor en acceleration sådan et sving kræver, og ved vaskemaskinen er den virkelig stor.

Dermed har vi beskrevet bevægelsen, men ikke dens årsag. Hvorfor legemer sætter i gang, bremser og drejer, forklarer kræfterne, og med dem begynder kategoriens anden del, artiklen Kraft.