Περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος

Σε κάθε τρίγωνο μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν κύκλο περιγεγραμμένο ή εγγεγραμμένο. Ο περιγεγραμμένος κύκλος περνά από όλες τις κορυφές του τριγώνου και ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του τριγώνου.

Περιγεγραμμένος κύκλος τριγώνου

Ο περιγεγραμμένος κύκλος είναι ο κύκλος που περνά από όλες τις κορυφές του τριγώνου. Αυτός ο κύκλος υπάρχει πάντα και είναι μοναδικός. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι από τρία οποιαδήποτε σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία περνά ακριβώς ένας κύκλος.

Για να κατασκευάσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο ενός τριγώνου, χρειάζεται να ξέρουμε τι είναι η μεσοκάθετος μιας πλευράς. Η μεσοκάθετος της πλευράς c είναι η ευθεία που είναι κάθετη στην πλευρά c και περνά από το μέσο της πλευράς c, το σημείο M_c. Πώς βρίσκουμε το μέσο μιας πλευράς εξηγείται στην κατασκευή των διαμέσων. Μόλις βρούμε το μέσο της πλευράς, μπορούμε να φέρουμε από αυτό την κάθετη και να σχηματίσουμε έτσι τη μεσοκάθετο.

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις πλευρές, άρα έχει και τρεις μεσοκαθέτους. Αυτές οι μεσοκάθετοι τέμνονται σε ένα σημείο, που συνήθως το συμβολίζουμε O. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Προχωράμε λοιπόν ως εξής. Στην αρχή έχουμε ένα τρίγωνο και θέλουμε να κατασκευάσουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του:

Πρώτα φέρνουμε τις μεσοκαθέτους και των τριών πλευρών. Δηλαδή βρίσκουμε τα μέσα και των τριών πλευρών και μετά φέρνουμε από κάθε μέσο την κάθετη.

Τώρα μένει μόνο να χαράξουμε τον κύκλο. Ο περιγεγραμμένος κύκλος περνά από όλες τις κορυφές, οπότε την ακτίνα του τη βρίσκουμε εύκολα. Είναι η απόσταση του κέντρου O από οποιαδήποτε κορυφή.

Εγγεγραμμένος κύκλος

Ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο, αν εφάπτεται και στις τρεις πλευρές του, δηλαδή έχει με κάθε πλευρά ακριβώς ένα κοινό σημείο. Για να βρούμε το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου, πρέπει να ξέρουμε τι είναι η διχοτόμος, που εξηγείται σε ξεχωριστό άρθρο. Το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου βρίσκεται στο σημείο τομής όλων των διχοτόμων. Στην αρχή λοιπόν έχουμε ένα τυχαίο τρίγωνο. Φέρνουμε τις διχοτόμους των γωνιών:

Το σημείο τομής I είναι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου. Χρειάζεται ακόμα να βρούμε την ακτίνα. Φέρνουμε προς οποιαδήποτε πλευρά την κάθετη που περνά ακριβώς από το σημείο I.

Το μήκος του τμήματος IP_c είναι ίσο με την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Τώρα μένει μόνο να χαράξουμε τον κύκλο: