Circunferências no triângulo

Em todo triângulo podemos desenhar uma circunferência, circunscrita ou inscrita. A circunferência circunscrita passa por todos os vértices do triângulo, e a circunferência inscrita toca os três lados do triângulo.

Circunferência circunscrita ao triângulo

A circunferência circunscrita é a circunferência que passa por todos os vértices do triângulo. Essa circunferência sempre existe e, além disso, é única. Podemos dizer, portanto, que por quaisquer três pontos que não estejam em uma mesma reta passa exatamente uma circunferência.

Para desenhar a circunferência circunscrita ao triângulo, vamos precisar conhecer o conceito de mediatriz de um lado. A mediatriz do lado c é a reta que é perpendicular ao lado c e, ao mesmo tempo, passa pelo ponto médio do lado c, o ponto M_c. Como encontrar o ponto médio de um lado está descrito na construção das medianas. Quando já temos o ponto médio do lado, podemos traçar por esse ponto uma perpendicular e criar assim a mediatriz.

Todo triângulo tem três lados, então tem também três mediatrizes. Essas mediatrizes se cruzam em um único ponto, que costumamos indicar por O. Esse ponto é o centro da circunferência circunscrita (o circuncentro). Então procedemos assim. No início temos um triângulo qualquer e queremos desenhar a circunferência circunscrita a esse triângulo:

Primeiro desenhamos as mediatrizes dos três lados. Isso significa que encontramos os pontos médios dos três lados e depois traçamos uma perpendicular por cada ponto médio.

Agora só falta desenhar a circunferência. A circunferência circunscrita passa por todos os vértices, então o raio dessa circunferência é fácil de encontrar. É a distância do centro O a qualquer vértice.

Circunferência inscrita

Uma circunferência é inscrita em um triângulo se toca os três lados, ou seja, tem exatamente um ponto em comum com cada lado. Para encontrar o centro da circunferência inscrita, precisamos conhecer o conceito de bissetriz de um ângulo, que é explicado em um artigo separado. O centro da circunferência inscrita fica então no ponto de encontro de todas as bissetrizes. Assim, no início temos um triângulo qualquer. Desenhamos as bissetrizes dos ângulos:

O ponto de encontro I indica o centro da circunferência inscrita (o incentro). Ainda precisamos descobrir o raio. Traçamos para um lado qualquer uma perpendicular que passe exatamente pelo ponto I.

O comprimento do segmento IP_c é igual ao comprimento do raio da circunferência inscrita. Agora só falta desenhar a circunferência: