Cirkler i en trekant
Til hver trekant kan vi konstruere en cirkel, som er omskreven eller indskreven. Den omskrevne cirkel går gennem alle trekantens hjørner, og den indskrevne cirkel rører alle tre sider i trekanten.
Trekantens omskrevne cirkel
Den omskrevne cirkel er den cirkel, som går gennem alle trekantens hjørner. Denne cirkel findes altid, og der er kun én af dem. Vi kan altså sige, at gennem hvilke som helst tre punkter, som ikke ligger på én linje, går der præcis én cirkel.
For at konstruere en trekants omskrevne cirkel får vi brug for begrebet midtnormal. Midtnormalen til siden c er den linje, der står vinkelret på siden c og samtidig går gennem midtpunktet på siden c, punktet Mc. Hvordan man finder midtpunktet på en side er beskrevet ved konstruktionen af medianer. Når vi har midtpunktet på en side, kan vi lægge en vinkelret linje gennem dette punkt og dermed danne midtnormalen.
Hver trekant har tre sider, så den har samtidig også tre midtnormaler. Disse midtnormaler skærer hinanden i ét punkt, som vi som regel betegner M. Dette punkt er så den omskrevne cirkels centrum. Vi går derfor frem på følgende måde. I begyndelsen har vi en given trekant, og vi vil konstruere den omskrevne cirkel til denne trekant:
Først konstruerer vi midtnormalerne til alle tre sider. Det betyder, at vi finder midtpunkterne på alle tre sider og derefter lægger en vinkelret linje gennem hvert midtpunkt.
Nu mangler vi bare at tegne cirklen. Den omskrevne cirkel går gennem alle hjørner, så radius af en sådan cirkel finder vi let. Det er afstanden fra centrum M til et vilkårligt hjørne.
Indskreven cirkel
En cirkel er indskrevet i en trekant, hvis den rører alle tre sider, altså har præcis ét punkt fælles med hver side. For at finde centrum for den indskrevne cirkel får vi brug for begrebet vinkelhalveringslinje, som er forklaret i en selvstændig artikel. Den indskrevne cirkels centrum ligger så i skæringspunktet mellem alle vinkelhalveringslinjerne. I begyndelsen har vi altså en almindelig trekant. Vi konstruerer vinkelhalveringslinjerne:
Skæringspunktet I er centrum for den indskrevne cirkel. Vi mangler stadig at finde radius. Til en vilkårlig side tegner vi en vinkelret linje, som går netop gennem punktet I.
Længden af linjestykket IPc er lig med længden af den indskrevne cirkels radius. Nu mangler vi bare at tegne cirklen:
Kapitler: Trekant, Højde i en trekant, Median i en trekant, Cirkler i en trekant, Retvinklet trekant, Sådan konstruerer du en trekant, Kongruente trekanter, Ligedannede trekanter, Trekantens areal, Pythagoras' sætning
