Cirklar i en triangel
Till varje triangel kan vi konstruera en cirkel som är omskriven eller inskriven. Den omskrivna cirkeln går genom alla hörn i triangeln och den inskrivna cirkeln tangerar alla tre sidor i triangeln.
Omskriven cirkel till en triangel
Den omskrivna cirkeln är den cirkel som går genom alla hörn i triangeln. Den här cirkeln finns alltid och det finns bara en. Vi kan alltså säga att genom tre punkter som inte ligger på en rät linje går alltid exakt en cirkel.
För att konstruera den omskrivna cirkeln behöver vi begreppet mittpunktsnormal. Mittpunktsnormalen till sidan c är den linje som är vinkelrät mot sidan c och dessutom går genom mittpunkten på sidan c, punkten Mc. Hur du hittar mittpunkten på en sida beskrivs vid konstruktionen av medianer. När vi har mittpunkten kan vi dra en vinkelrät linje genom den och på så sätt få mittpunktsnormalen.
Varje triangel har tre sidor och därmed också tre mittpunktsnormaler. De skär varandra i en punkt som vi vanligen betecknar O. Den punkten är den omskrivna cirkelns medelpunkt. Vi går alltså tillväga så här. Från början har vi en triangel och vill konstruera den omskrivna cirkeln:
Först konstruerar vi mittpunktsnormalerna till alla tre sidor. Det betyder att vi hittar mittpunkterna på alla tre sidor och sedan drar en vinkelrät linje genom varje mittpunkt.
Nu återstår bara att rita cirkeln. Den omskrivna cirkeln går genom alla hörn, så radien hittar vi lätt. Det är avståndet från medelpunkten O till vilket hörn som helst.
Inskriven cirkel
En cirkel är inskriven i en triangel om den tangerar alla tre sidor, alltså har exakt en gemensam punkt med varje sida. För att hitta den inskrivna cirkelns medelpunkt behöver vi begreppet bisektris, som förklaras i en separat artikel. Den inskrivna cirkelns medelpunkt ligger i skärningspunkten mellan alla bisektriser. Från början har vi alltså en vanlig triangel. Vi konstruerar bisektriserna:
Skärningspunkten O är den inskrivna cirkelns medelpunkt. Vi behöver också bestämma radien. Vi drar en vinkelrät linje mot en valfri sida så att den går genom just punkten O.
Längden på sträckan OPc är lika med den inskrivna cirkelns radie. Nu återstår bara att rita cirkeln:
Kapitel: Triangel, Höjd i en triangel, Median i en triangel, Cirklar i en triangel, Rätvinklig triangel, Så konstruerar du en triangel, Kongruenta trianglar, Likformiga trianglar, Area av en triangel, Pythagoras sats
