Окръжности в триъгълник
Във всеки триъгълник можем да построим окръжност, която е описана или вписана. Описаната окръжност минава през всички върхове на триъгълника, а вписаната окръжност се допира до трите му страни.
Описана окръжност на триъгълник
Описаната окръжност е окръжност, която минава през всички върхове на триъгълника. Тази окръжност винаги съществува и е единствена. Можем да кажем, че през всеки три точки, които не лежат на една права, минава точно една окръжност.
За да построим описаната окръжност на триъгълник, ни трябва понятието симетрала на страна. Симетралата на страната c е права, която е перпендикулярна на страната c и минава през средата ѝ, точката Mc. Как се намира средата на страна е описано при построяването на медианите. Щом имаме средата на страната, можем да прекараме през нея перпендикуляр и така да получим симетралата.
Всеки триъгълник има три страни, затова има и три симетрали на страните. Те се пресичат в една точка, която обикновено означаваме с O. Тази точка е центърът на описаната окръжност. Действаме по следния начин. Нека е даден някакъв триъгълник и искаме да построим описаната му окръжност:
Първо построяваме симетралите на трите страни. Това означава, че намираме средите на трите страни и през всяка среда прекарваме перпендикуляр.
Остава само да построим окръжността. Описаната окръжност минава през всички върхове, затова радиусът ѝ се намира лесно. Това е разстоянието от центъра O до кой да е от върховете.
Вписана окръжност
Една окръжност е вписана в триъгълника, ако се допира до трите му страни, т.е. има с всяка страна точно една обща точка. За да намерим центъра на вписаната окръжност, ни трябва понятието ъглополовяща, което е обяснено в отделна статия. Центърът на вписаната окръжност лежи в пресечната точка на всички ъглополовящи. Нека е даден обикновен триъгълник. Построяваме ъглополовящите:
Пресечната точка I е центърът на вписаната окръжност. Остава да намерим радиуса. Към коя да е страна спускаме перпендикуляр, който минава точно през точката I.
Дължината на отсечката IHc е равна на радиуса на вписаната окръжност. Остава само да начертаем окръжността:
Глави: Триъгълник, Височина на триъгълник, Медиана на триъгълник, Окръжности в триъгълник, Правоъгълен триъгълник, Как да построим триъгълник, Еднаквост на триъгълници, Подобие на триъгълници, Лице на триъгълник, Питагорова теорема