Circonferenze nel triangolo
A ogni triangolo possiamo associare una circonferenza circoscritta e una inscritta. La circonferenza circoscritta passa per tutti i vertici del triangolo, mentre la circonferenza inscritta è tangente a tutti e tre i lati del triangolo.
Circonferenza circoscritta a un triangolo
La circonferenza circoscritta è la circonferenza che passa per tutti i vertici del triangolo. Questa circonferenza esiste sempre ed è unica. Possiamo quindi dire che per tre punti qualsiasi non allineati passa una e una sola circonferenza.
Per disegnare la circonferenza circoscritta a un triangolo ci serve il concetto di asse di un lato. L’asse del lato c è la retta perpendicolare al lato c che passa per il suo punto medio, il punto Mc. Come trovare il punto medio di un lato è spiegato nella costruzione delle mediane. Una volta trovato il punto medio del lato, possiamo condurre per quel punto la perpendicolare e ottenere così l’asse del lato.
Ogni triangolo ha tre lati, quindi ha anche tre assi dei lati. Questi assi si incontrano in un solo punto, che di solito indichiamo con O. Questo punto è il centro della circonferenza circoscritta. Procediamo dunque così. All’inizio abbiamo un triangolo qualsiasi e vogliamo disegnare la circonferenza circoscritta a questo triangolo:
Per prima cosa disegniamo gli assi di tutti e tre i lati. Cioè troviamo i punti medi dei tre lati e poi per ciascun punto medio conduciamo la perpendicolare.
Ora resta solo da disegnare la circonferenza. La circonferenza circoscritta passa per tutti i vertici, quindi il suo raggio si trova facilmente: è la distanza dal centro O a uno qualsiasi dei vertici.
Circonferenza inscritta
Una circonferenza è inscritta in un triangolo se è tangente a tutti e tre i lati, cioè ha con ciascun lato esattamente un punto in comune. Per trovare il centro della circonferenza inscritta ci serve il concetto di bisettrice dell’angolo, spiegato in un articolo a parte. Il centro della circonferenza inscritta si trova nel punto di intersezione di tutte le bisettrici degli angoli. All’inizio abbiamo dunque un triangolo qualsiasi. Disegniamo le bisettrici degli angoli:
Il punto di intersezione I è il centro della circonferenza inscritta. Ci serve ancora il raggio. Da I conduciamo la perpendicolare a un lato qualsiasi.
La lunghezza del segmento IPc è uguale al raggio della circonferenza inscritta. Ora non resta che disegnare la circonferenza:
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