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Cercles d’un triangle

Pour tout triangle, on peut tracer un cercle circonscrit ou un cercle inscrit. Le cercle circonscrit passe par les trois sommets du triangle, et le cercle inscrit est tangent aux trois côtés du triangle.

Cercle circonscrit à un triangle

Le cercle circonscrit est le cercle qui passe par tous les sommets du triangle. Ce cercle existe toujours et il est unique. On peut donc dire que par trois points non alignés, il passe exactement un cercle.

Pour tracer le cercle circonscrit à un triangle, nous avons besoin de la notion de médiatrice d’un côté. La médiatrice du côté c est la droite perpendiculaire au côté c qui passe par le milieu de ce côté, le point C'. La façon de trouver le milieu d’un côté est décrite dans la construction des médianes. Une fois qu’on a le milieu, il suffit de tracer par ce point la perpendiculaire au côté : c’est la médiatrice.

Chaque triangle a trois côtés, donc aussi trois médiatrices. Elles se coupent en un seul point, que nous noterons O. Ce point est le centre du cercle circonscrit. Voici donc comment procéder. Au départ, on a un triangle quelconque et on veut tracer son cercle circonscrit :

Un triangle quelconque

D’abord, on trace les médiatrices des trois côtés. Cela veut dire qu’on trouve les milieux des trois côtés, puis qu’on trace par chaque milieu la perpendiculaire au côté.

Les médiatrices d_a, d_b et d_c des côtés et leur point d’intersection

Il ne reste plus qu’à tracer le cercle. Le cercle circonscrit passe par tous les sommets, donc son rayon est facile à trouver : c’est la distance du centre O à n’importe quel sommet.

Cercle circonscrit au triangle

Cercle inscrit

Un cercle est inscrit dans un triangle s’il est tangent aux trois côtés, c’est-à-dire s’il a exactement un point commun avec chacun d’eux. Pour trouver le centre du cercle inscrit, nous avons besoin de la notion de bissectrice d’un angle, expliquée dans un article à part. Le centre du cercle inscrit se trouve au point d’intersection des trois bissectrices. Au départ, on a un triangle quelconque. On trace les bissectrices des angles :

Triangle avec les bissectrices de ses angles

Le point d’intersection I est le centre du cercle inscrit. Il reste à déterminer le rayon. On trace, depuis le point I, la perpendiculaire à un côté quelconque.

Perpendiculaire au côté c

La longueur du segment [IHc] est égale au rayon du cercle inscrit. Il ne reste plus qu’à tracer le cercle :

Cercle \mathcal{C} inscrit dans le triangle ABC

Chapitres: Triangle, Hauteur d’un triangle, Médianes d’un triangle, Cercles d’un triangle, Triangle rectangle, Comment construire un triangle, Triangles égaux, Triangles semblables, Aire d’un triangle, Théorème de Pythagore