Circunferencias inscrita y circunscrita en un triángulo
A todo triángulo le podemos trazar una circunferencia circunscrita o inscrita. La circunferencia circunscrita pasa por todos los vértices del triángulo y la circunferencia inscrita es tangente a los tres lados del triángulo.
Circunferencia circunscrita a un triángulo
La circunferencia circunscrita es la circunferencia que pasa por todos los vértices del triángulo. Esta circunferencia siempre existe y, además, es única. Podemos decir, pues, que por tres puntos cualesquiera que no estén en una misma recta pasa exactamente una circunferencia.
Para trazar la circunferencia circunscrita a un triángulo necesitaremos conocer el concepto de mediatriz. La mediatriz del lado c es la recta perpendicular al lado c que además pasa por el punto medio del lado c, el punto Mc. Cómo hallar el punto medio de un lado se describe en la construcción de las medianas. Cuando ya tenemos el punto medio, podemos trazar por él la perpendicular y obtener así la mediatriz.
Todo triángulo tiene tres lados, así que tiene también tres mediatrices. Estas mediatrices se cortan en un único punto, que solemos designar con O. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita (el circuncentro). Procedemos, pues, de la siguiente manera. Al principio tenemos un triángulo cualquiera y queremos trazar su circunferencia circunscrita:
Primero trazamos las mediatrices de los tres lados. Es decir, hallamos los puntos medios de los tres lados y por cada uno de ellos trazamos la perpendicular.
Ahora solo queda trazar la circunferencia. La circunferencia circunscrita pasa por todos los vértices, así que su radio se halla fácilmente. Es la distancia del centro O a cualquiera de los vértices.
Circunferencia inscrita
Una circunferencia está inscrita en un triángulo si es tangente a sus tres lados, es decir, si tiene exactamente un punto en común con cada lado. Para hallar el centro de la circunferencia inscrita necesitamos conocer el concepto de bisectriz, que se explica en un artículo aparte. El centro de la circunferencia inscrita (el incentro) se encuentra en el punto de corte de todas las bisectrices. Al principio tenemos, pues, un triángulo cualquiera. Trazamos las bisectrices:
El punto de corte I es el centro de la circunferencia inscrita. Todavía necesitamos averiguar el radio. Desde el punto I trazamos la perpendicular a un lado cualquiera.
La longitud del segmento IPc es igual al radio de la circunferencia inscrita. Ahora solo queda trazar la circunferencia:
Capítulos: Triángulo, Altura de un triángulo, Mediana de un triángulo, Circunferencias inscrita y circunscrita en un triángulo, Triángulo rectángulo, Cómo construir un triángulo, Igualdad de triángulos, Semejanza de triángulos, Área de un triángulo, Teorema de Pitágoras
