Ympyrä kolmiossa

Jokaiselle kolmiolle voimme piirtää ympyrän, joka on joko ympäri piirretty tai sisään piirretty. Ympäri piirretty ympyrä kulkee kolmion kaikkien kärkien kautta ja sisään piirretty ympyrä sivuaa kolmion kaikkia kolmea sivua.

Kolmion ympäri piirretty ympyrä

Ympäri piirretty ympyrä on ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kärkien kautta. Tällainen ympyrä on aina olemassa, ja se on lisäksi yksikäsitteinen. Voimme siis sanoa, että minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole samalla suoralla, kulkee täsmälleen yksi ympyrä.

Jotta voisimme piirtää kolmion ympäri piirretyn ympyrän, tarvitsemme käsitteen sivun keskinormaali. Sivun c keskinormaali on suora, joka on kohtisuorassa sivua c vastaan ja kulkee samalla sivun c keskipisteen eli pisteen M_c kautta. Sivun keskipisteen löytäminen on kuvattu keskijanojen piirtämisen yhteydessä. Kun sivun keskipiste on selvillä, voimme piirtää sen kautta kohtisuoran ja saada näin keskinormaalin.

Jokaisella kolmiolla on kolme sivua, joten sillä on myös kolme sivujen keskinormaalia. Nämä keskinormaalit leikkaavat toisensa yhdessä pisteessä, jota merkitsemme yleensä O. Tämä piste on ympäri piirretyn ympyrän keskipiste. Etenemme siis seuraavasti. Alussa meillä on jokin kolmio, ja haluamme piirtää sen ympäri piirretyn ympyrän:

Piirrämme ensin kaikkien kolmen sivun keskinormaalit. Se tarkoittaa, että etsimme kaikkien kolmen sivun keskipisteet ja piirrämme sitten jokaisen keskipisteen kautta kohtisuoran.

Nyt jää enää piirtää ympyrä. Ympäri piirretty ympyrä kulkee kaikkien kärkien kautta, joten tällaisen ympyrän säde löytyy helposti. Se on etäisyys keskipisteestä O mihin tahansa kärkeen.

Sisään piirretty ympyrä

Ympyrä on kolmion sisään piirretty, jos se sivuaa kaikkia kolmea sivua eli sillä on jokaisen sivun kanssa täsmälleen yksi yhteinen piste. Jotta löytäisimme sisään piirretyn ympyrän keskipisteen, tarvitsemme käsitteen kulmanpuolittaja, joka on selitetty erillisessä artikkelissa. Sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kaikkien kulmanpuolittajien leikkauspisteessä. Alussa meillä on siis tavallinen kolmio. Piirrämme kulmanpuolittajat:

Leikkauspiste I merkitsee sisään piirretyn ympyrän keskipistettä. Tarvitsemme vielä säteen. Johonkin sivuun lasketaan kohtisuora, joka kulkee juuri pisteen I kautta.

Janan IP_c pituus on yhtä suuri kuin sisään piirretyn ympyrän säde. Nyt jää enää piirtää ympyrä: