Kreise am Dreieck

Zu jedem Dreieck können wir einen Kreis zeichnen, der ein Umkreis oder ein Inkreis ist. Der Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks, und der Inkreis berührt alle drei Seiten des Dreiecks.

Umkreis eines Dreiecks

Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks geht. Dieser Kreis existiert immer und ist zugleich eindeutig. Wir können also sagen, dass durch je drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, genau ein Kreis geht.

Um den Umkreis eines Dreiecks zu konstruieren, brauchen wir den Begriff der Mittelsenkrechten. Die Mittelsenkrechte der Seite c ist die Gerade, die senkrecht auf der Seite c steht und zugleich durch den Mittelpunkt der Seite c geht, den Punkt M_c. Wie du den Mittelpunkt einer Seite findest, ist bei der Konstruktion der Seitenhalbierenden beschrieben. Sobald wir den Seitenmittelpunkt haben, können wir in diesem Punkt die Senkrechte errichten und so die Mittelsenkrechte zeichnen.

Jedes Dreieck hat drei Seiten, also auch drei Mittelsenkrechten. Diese Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt, den wir üblicherweise mit M bezeichnen. Dieser Punkt ist dann der Mittelpunkt des Umkreises. Wir gehen also folgendermaßen vor. Am Anfang haben wir ein beliebiges Dreieck und wollen den Umkreis dieses Dreiecks konstruieren:

Zuerst zeichnen wir die Mittelsenkrechten aller drei Seiten. Das bedeutet, dass wir die Mittelpunkte aller drei Seiten finden und dann in jedem Mittelpunkt die Senkrechte errichten.

Jetzt bleibt nur noch, den Kreis zu zeichnen. Der Umkreis geht durch alle Ecken, deshalb finden wir seinen Radius leicht. Es ist der Abstand vom Mittelpunkt M zu irgendeiner Ecke.

Inkreis

Ein Kreis ist ein Inkreis des Dreiecks, wenn er alle drei Seiten berührt, also mit jeder Seite genau einen Punkt gemeinsam hat. Um den Mittelpunkt des Inkreises zu finden, brauchen wir den Begriff der Winkelhalbierenden, der in einem eigenen Artikel erklärt wird. Der Mittelpunkt des Inkreises liegt dann im Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden. Am Anfang haben wir also ein gewöhnliches Dreieck. Wir zeichnen die Winkelhalbierenden:

Der Schnittpunkt M ist der Mittelpunkt des Inkreises. Wir müssen noch den Radius bestimmen. Dazu fällen wir vom Punkt M das Lot auf eine beliebige Seite.

Die Länge der Strecke MP_c ist gleich dem Radius des Inkreises. Jetzt bleibt nur noch, den Kreis zu zeichnen: