Nousun muuntaminen kulmaksi

Olet varmasti joskus nähnyt tien varrella liikennemerkin ”jyrkkä ylämäki” (tai ”jyrkkä alamäki”). Tällainen merkki varoittaa, että edessä on melko jyrkkä mäki. Merkki ilmoittaa nousun kuitenkin prosentteina, vaikka kulma on tapana mitata asteina. Mitä nousun prosenttiluku tarkoittaa?

Jotta ymmärtäisimme, mitä nuo 12 % kertovat, katsotaan seuraavaa kuvaa:

Kuvitellaan, että automme on pisteessä A, johon on myös sijoitettu merkki ”12 %:n nousu”. Ajamme nyt eteenpäin ylämäkeen punaista tietä, kunnes olemme edenneet linnuntietä sata metriä. Määränpäämme on piste C. Linnuntietä esittää pisteiden A ja B välinen etäisyys. Todellisuudessa automme ajaa hieman pidemmän matkan, koska se ajaa ylämäkeen ja matka AC on siksi hieman pidempi kuin AB. Kun kuitenkin pääsemme pisteeseen C, olemme nousseet 12 metriä, mikä on esitetty janalla BC. Ja juuri tämän merkki kertoo: 12 %:n nousu tarkoittaa, että jos nousua riittäisi sata metriä linnuntietä, nousisimme 12 metriä. Jos paikalla olisi 14 %:n nousu, nousisimme sadalla metrillä 14 metriä.

Miten kulma lasketaan asteina

Miten saamme nyt selville kulman α suuruuden, joka on kärjessä A? Eli minkä kulman nouseva tie muodostaa vaakasuoran maan kanssa? Käytämme trigonometrisia funktioita, tarkemmin tangenttia. Tiedämme, että suorakulmaisessa kolmiossa kulman tangentti on vastaisen kateetin suhde viereiseen kateettiin. Kulman α vastainen kateetti on sivu BC ja viereinen kateetti on sivu AB. Voimme siis kirjoittaa, että kulman alfa tangentti on:

$$\tan \alpha =\frac{12}{100}$$

Emme kuitenkaan oikeastaan halua tietää kulman tangenttia vaan kulman α suuruuden. Siihen tarvitsemme arkustangenttifunktion, joka osaa laskea kulman suuruuden, kun tunnemme sivujen suhteen. Voimme siis kirjoittaa, että

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}$$

Tämä on syötettävä johonkin laskimeen, voimme käyttää vaikka Googlea, joka laskee meille, että

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}=6,{84}^{\circ }$$

Tie muodostaa maan kanssa noin 6,84° kulman.

Laskin

Kaltevuus ilmoitetaan kolmella tavalla: prosentteina kuten liikennemerkissä, kulmana asteina tai suhteena 1 : n, jossa n on vaakasuora etäisyys, jolla tie nousee yhden metrin. Sitä käytetään esimerkiksi luiskissa ja katoissa. Anna tuntemasi arvo, niin laskin laskee kaksi muuta.