Μετατροπή κλίσης σε γωνία

Σίγουρα έχεις δει κάποια φορά στον δρόμο την πινακίδα «απότομη ανωφέρεια» (ή «απότομη κατωφέρεια»). Μια τέτοια πινακίδα σε προειδοποιεί ότι έχεις μπροστά σου μια αρκετά απότομη ανηφόρα. Το μέγεθος της κλίσης όμως η πινακίδα το δίνει σε ποσοστά, ενώ τη γωνία συνήθως τη μετράμε σε μοίρες. Τι σημαίνει λοιπόν η ποσοστιαία παράσταση της κλίσης;

Για να εξηγήσουμε τι μας λένε αυτά τα 12%, ας δούμε το επόμενο σχήμα:

Ας φανταστούμε ότι το αυτοκίνητό μας βρίσκεται στο σημείο A, όπου βρίσκεται και η πινακίδα με κλίση 12%. Τώρα θα συνεχίσουμε προς την ανηφόρα κατά μήκος του κόκκινου δρόμου, μέχρι να διανύσουμε σε ευθεία γραμμή εκατό μέτρα. Ο προορισμός μας παριστάνεται με το σημείο C. Την ευθεία γραμμή την παριστάνει η απόσταση ανάμεσα στα σημεία A και B. Στην πραγματικότητα το αυτοκίνητό μας διανύει λίγο μεγαλύτερη απόσταση, γιατί ανεβαίνει την ανηφόρα και η απόσταση AC είναι έτσι λίγο μεγαλύτερη από την AB. Αν όμως φτάσουμε στο σημείο C, θα έχουμε υψομετρική διαφορά 12 μέτρων, που παριστάνεται με το ευθύγραμμο τμήμα BC. Και αυτό είναι που μας λέει η συγκεκριμένη πινακίδα: κλίση 12% σημαίνει ότι, αν αυτή η κλίση συνεχιζόταν για εκατό μέτρα σε ευθεία γραμμή, θα είχαμε υψομετρική διαφορά 12 μέτρων. Αν στο σημείο υπήρχε κλίση 14%, θα είχαμε στα εκατό μέτρα υψομετρική διαφορά 14 μέτρων.

Πώς υπολογίζουμε τη γωνία σε μοίρες

Με ποιον τρόπο θα βρούμε τώρα το μέτρο της γωνίας α, που βρίσκεται στην κορυφή A; Δηλαδή ποια γωνία σχηματίζει ο ανηφορικός δρόμος με το επίπεδο έδαφος; Θα χρησιμοποιήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, συγκεκριμένα τη συνάρτηση εφαπτομένη. Ξέρουμε ότι η εφαπτομένη μιας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο ισούται με τον λόγο της απέναντι κάθετης πλευράς προς την προσκείμενη. Η απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας α είναι η πλευρά BC, η προσκείμενη κάθετη πλευρά είναι η πλευρά AB. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε ότι η εφαπτομένη της γωνίας άλφα ισούται με:

$$\mathrm{\epsilon }\mathrm{\phi }\alpha =\frac{12}{100}$$

Εμείς όμως στην πραγματικότητα δεν θέλουμε να ξέρουμε την εφαπτομένη της γωνίας, θέλουμε να ξέρουμε το μέτρο της γωνίας α. Γι’ αυτό θα χρειαστούμε την αντίστροφη τριγωνομετρική συνάρτηση τόξο εφαπτομένης, που μπορεί να υπολογίσει το μέτρο της γωνίας, αν ξέρουμε τον λόγο των πλευρών. Μπορούμε έτσι να γράψουμε ότι

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}$$

Αυτό πρέπει να το υπολογίσουμε σε κάποια αριθμομηχανή, μπορούμε γι’ αυτό να χρησιμοποιήσουμε, για παράδειγμα, τον «θείο» Google, που μας υπολογίζει ότι

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}=6,{84}^{\circ }$$

Ο δρόμος σχηματίζει με το έδαφος γωνία μέτρου περίπου 6,84°.

Αριθμομηχανή

Η κλίση δίνεται με τρεις τρόπους: σε ποσοστό, όπως στην πινακίδα, με τη γωνία σε μοίρες ή με τον λόγο 1 : n, όπου n είναι η οριζόντια απόσταση στην οποία ο δρόμος ανεβαίνει κατά ένα μέτρο. Ο τελευταίος τρόπος χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, σε ράμπες και σε στέγες. Δώσε ό,τι γνωρίζεις και η αριθμομηχανή θα υπολογίσει τα άλλα δύο στοιχεία.