Az emelkedés átszámítása szögre

Biztosan láttál már az úton veszélyes emelkedőt (vagy veszélyes lejtőt) jelző közlekedési táblát. Egy ilyen tábla arra figyelmeztet, hogy meglehetősen meredek emelkedő vár rád. A tábla az emelkedés mértékét azonban százalékban adja meg, miközben a szöget általában fokban szoktuk mérni. Mit jelent az emelkedés százalékos megadása?

Hogy megértsük, mit mond nekünk az a 12%, nézzük a következő ábrát:

Képzeljük el, hogy az autónk az A pontban van, ahol a 12%-os emelkedőt jelző tábla is áll. Most haladjunk tovább felfelé a piros úton, amíg légvonalban száz métert meg nem teszünk. A célunkat a C pont jelöli. A légvonalat az A és a B pont távolsága jelenti. A valóságban az autónk egy kicsit nagyobb távolságot tesz meg, mert hegynek felfelé megy, és az AC távolság így egy kicsit nagyobb, mint az AB. Ha azonban elérünk a C pontba, 12 méteres szintkülönbséget érünk el, amit a BC szakasz jelöl. És ezt mondja nekünk az adott tábla: a 12%-os emelkedő azt jelenti, hogy ha ez az emelkedő légvonalban száz méteren át tartana, 12 méteres szintkülönbséget érnénk el. Ha 14%-os emelkedő lenne a helyén, száz méteren 14 méteres szintkülönbséget érnénk el.

Hogyan számoljuk ki a szöget fokban

Hogyan kapjuk meg most az A csúcsnál levő α szög nagyságát? Vagyis mekkora szöget zár be az emelkedő út a vízszintes talajjal? Felhasználjuk a szögfüggvényeket, konkrétan a tangens függvényt. Tudjuk, hogy egy derékszögű háromszögben egy szög tangense a szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosa. Az α szöggel szemközti befogó a BC oldal, a szög melletti befogó az AB oldal. Felírhatjuk tehát, hogy az alfa szög tangense:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{12}{100}$$

Mi azonban valójában nem a szög tangensét akarjuk tudni, hanem az α szög nagyságát. Ehhez szükségünk lesz az arkusz tangens függvényre, amely ki tudja számítani a szög nagyságát, ha ismerjük az oldalak arányát. Felírhatjuk tehát, hogy

$$\alpha =\mathrm{arctg}\frac{12}{100}$$

Ezt be kell ütnünk valamilyen számológépbe, használhatjuk erre például Google bácsit, aki kiszámolja nekünk, hogy

$$\alpha =\mathrm{arctg}\frac{12}{100}=6,{84}^{\circ }$$

Az út körülbelül 6,84° nagyságú szöget zár be a talajjal.

Számológép

A lejtő meredekségét háromféleképpen adhatjuk meg: százalékban, ahogy a közlekedési táblán, fokban megadott szögként, vagy 1 : n arányban, ahol n az a vízszintes távolság, amelyen az út egy métert emelkedik. Ez utóbbit például rámpáknál és tetőknél használják. Add meg, amit ismersz, a számológép pedig kiszámolja a másik két értéket.