Steigung in Winkel umrechnen

Bestimmt hast du auf der Straße schon einmal das Verkehrszeichen „Steigung“ (oder „Gefälle“) gesehen. Ein solches Schild weist dich darauf hin, dass vor dir ein ziemlich steiler Berg liegt. Die Stärke der Steigung gibt das Schild aber in Prozent an, obwohl wir einen Winkel gewöhnlich in Grad messen. Was bedeutet die Darstellung der Steigung in Prozent?

Um zu erklären, was uns diese 12 % sagen, sehen wir uns das folgende Bild an:

Stellen wir uns vor, unser Auto steht im Punkt A, wo auch das Schild mit der Steigung von 12 % steht. Nun fahren wir auf der roten Straße weiter bergauf, bis wir in der Luftlinie hundert Meter zurückgelegt haben. Unser Ziel ist durch den Punkt C dargestellt. Die Luftlinie stellt der Abstand zwischen den Punkten A und B dar. In Wirklichkeit legt unser Auto eine etwas größere Strecke zurück, weil es bergauf fährt, und die Strecke AC ist deshalb etwas länger als AB. Wenn wir aber im Punkt C ankommen, haben wir einen Höhenunterschied von 12 Metern erreicht, der durch die Strecke BC dargestellt ist. Und genau das sagt uns das Schild: 12 % Steigung bedeutet, dass wir bei hundert Metern Luftlinie einen Höhenunterschied von 12 Metern erreichen würden. Wären es 14 % Steigung, würden wir auf hundert Metern einen Höhenunterschied von 14 Metern erreichen.

Wie man den Winkel in Grad berechnet

Wie erhalten wir nun die Größe des Winkels α, der am Eckpunkt A liegt? Also welchen Winkel schließt der ansteigende Weg mit dem ebenen Boden ein? Wir nutzen die Winkelfunktionen, konkret die Funktion Tangens. Wir wissen, dass der Tangens eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck gleich dem Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete ist. Die Gegenkathete des Winkels α ist die Seite BC, die Ankathete ist die Seite AB. Wir können also schreiben, dass der Tangens des Winkels Alpha gleich ist:

$$\tan \alpha =\frac{12}{100}$$

Wir wollen aber eigentlich nicht den Tangens des Winkels kennen, sondern die Größe des Winkels α. Dazu brauchen wir die Arkusfunktion Arkustangens, die die Größe des Winkels berechnen kann, wenn wir das Verhältnis der Seiten kennen. Wir können also schreiben, dass

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}$$

Das müssen wir in einen Taschenrechner eingeben, wir können dazu zum Beispiel Onkel Google nutzen, der uns berechnet, dass

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}=6,{84}^{\circ }$$

Der Weg schließt mit dem Boden einen Winkel von ungefähr 6,84° ein.

Rechner

Die Steigung wird auf drei Arten angegeben: in Prozent wie auf dem Verkehrsschild, als Winkel in Grad oder als Verhältnis 1 : n, wobei n die waagerechte Strecke ist, auf der der Weg um einen Meter ansteigt. Dieses Verhältnis verwendet man zum Beispiel bei Rampen und Dächern. Gib ein, was du kennst, und der Rechner berechnet die beiden übrigen Angaben.