Stijging omrekenen naar een hoek

Je hebt vast wel eens op de weg een waarschuwingsbord voor een gevaarlijke stijging gezien (of voor een gevaarlijke daling). Zo'n bord waarschuwt je dat je een behoorlijk steile heuvel voor je hebt. De mate van stijging geeft het bord echter in procenten aan, terwijl we een hoek meestal gewend zijn in graden te meten. Wat betekent de weergave van de stijging in procenten?

Om uit te leggen wat die 12% ons zegt, kijken we naar de volgende afbeelding:

Stel je voor dat onze auto in punt A staat, waar ook het bord met 12% stijging staat. Nu rijden we verder de heuvel op over de rode weg, totdat we hemelsbreed honderd meter hebben afgelegd. Ons doel is aangegeven met punt C. De hemelsbrede lijn is de afstand tussen de punten A en B. In werkelijkheid legt onze auto een iets grotere afstand af, omdat hij de heuvel op rijdt en afstand AC dus iets groter is dan AB. Maar als we in punt C aankomen, hebben we een hoogteverschil van 12 meter bereikt, dat is aangegeven met lijnstuk BC. En dat is wat het bord ons zegt: 12% stijging betekent dat als deze stijging honderd meter hemelsbreed zou duren, we een hoogteverschil van 12 meter zouden bereiken. Als er een stijging van 14% was, zouden we op honderd meter een hoogteverschil van 14 meter bereiken.

Hoe bereken je de hoek in graden

Hoe krijgen we nu de grootte van hoek α, die bij hoekpunt A ligt? Dus welke hoek maakt de stijgende weg met de vlakke grond? We gebruiken goniometrie, concreet de tangens. We weten dat de tangens van een hoek in een rechthoekige driehoek gelijk is aan de verhouding van de overstaande rechthoekszijde tot de aanliggende. De overstaande rechthoekszijde van hoek α is zijde BC, de aanliggende rechthoekszijde is zijde AB. We kunnen dus schrijven dat de tangens van hoek alfa gelijk is aan:

$$\tan \alpha =\frac{12}{100}$$

Maar eigenlijk willen we niet de tangens van de hoek weten, we willen de grootte van hoek α weten. Daarvoor hebben we de arctangens nodig, die de grootte van een hoek kan berekenen als we de verhouding van zijden kennen. We kunnen dus schrijven dat

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}$$

Dit moeten we in een rekenmachine invoeren, daarvoor kunnen we bijvoorbeeld Google gebruiken, dat voor ons berekent dat

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}=6,{84}^{\circ }$$

De weg maakt met de grond een hoek van ongeveer 6,84°.

Rekenmachine

Een helling wordt op drie manieren aangegeven: in procenten zoals op het verkeersbord, als hoek in graden, of als verhouding 1 : n, waarbij n de horizontale afstand is waarover de weg één meter stijgt. Dat wordt bijvoorbeeld bij hellingbanen en daken gebruikt. Vul in wat je weet en de rekenmachine berekent de andere twee gegevens.