Conversion d’une pente en angle

Tu as sûrement déjà vu sur la route un panneau « forte pente » (ou un panneau de forte descente). Ce panneau te prévient que tu as devant toi une côte assez raide. Mais le panneau indique la pente en pourcentage, alors qu’on a l’habitude de mesurer un angle en degrés. Que signifie donc cette pente en pourcentage ?

Pour comprendre ce que nous disent ces 12 %, regardons la figure suivante :

Imaginons que notre voiture soit au point A, où se trouve aussi le panneau de pente à 12 %. Roulons maintenant en montée sur la route rouge, jusqu’à avoir parcouru cent mètres à vol d’oiseau. Notre but est représenté par le point C. La ligne à vol d’oiseau est la distance entre les points A et B. En réalité, notre voiture parcourt une distance un peu plus grande, car elle monte, et la distance AC est donc un peu plus grande que AB. Mais quand nous arrivons au point C, nous avons gagné un dénivelé de 12 mètres, représenté par le segment [BC]. Et c’est ce que nous dit le panneau : une pente de 12 % signifie que si cette montée durait cent mètres à vol d’oiseau, nous gagnerions un dénivelé de 12 mètres. Avec une pente de 14 %, nous gagnerions 14 mètres de dénivelé sur cent mètres.

Comment calculer l’angle en degrés

Comment obtenir maintenant la mesure de l’angle α, situé au sommet A ? Autrement dit, quel angle la route en montée forme-t-elle avec le sol plat ? Nous allons utiliser les fonctions trigonométriques, plus précisément la fonction tangente. Nous savons que la tangente d’un angle dans un triangle rectangle est égale au rapport du côté opposé au côté adjacent. Le côté opposé à l’angle α est le côté [BC], le côté adjacent est le côté [AB]. Nous pouvons donc écrire que la tangente de l’angle alpha est égale à :

$$\tan \alpha =\frac{12}{100}$$

Mais en réalité, ce n’est pas la tangente de l’angle que nous voulons connaître, c’est la mesure de l’angle α. Pour cela, nous avons besoin de la fonction trigonométrique réciproque arctangente, qui sait calculer la mesure de l’angle quand on connaît le rapport des côtés. Nous pouvons donc écrire que

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}$$

Il faut entrer cela dans une calculatrice. Nous pouvons par exemple utiliser Google, qui nous calcule que

$$\alpha =\arctan \frac{12}{100}\approx 6,{84}^{\circ }$$

La route forme avec le sol un angle d’environ 6,84°.

Calculatrice

La pente s’exprime de trois façons : en pourcentage, comme sur un panneau routier, par un angle en degrés, ou par un rapport 1 : n, où n est la distance horizontale sur laquelle la route s’élève d’un mètre. On l’utilise par exemple pour les rampes et les toits. Saisis ce que tu connais et la calculatrice calcule les deux autres valeurs.