複素数の極形式

複素数を a + bi の形で書くのが、いつも便利とはかぎりません。そこで、複素数の極形式という書き方も使います。

平面上の点の表し方

複素数平面では、複素数 z = x + yi は1つの点を表します。この点の座標は (x, y) です。座標 (x, y) を書く以外に、点 z を決める方法はあるでしょうか。

点 z と原点を結ぶ線分が x 軸（正確にはその正の部分）となす角を求めることができます。これで、点 z が原点からどの方向にあるかがわかります。正確にどこにあるかを知るには、さらに原点からの距離が必要です。この2つがわかれば、複素数平面上の点 z をきちんと決められます。

極形式

複素数を極形式で表すために知っておく必要があることを、次の図にまとめます。

図のように、点 z と原点を結ぶ線分の長さが必要です。これは z の絶対値に等しく、計算のしかたはもうわかっています。さらに、角 φ（偏角）が必要です。複素数の極形式は、次のようになります。

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

角 φ はどうやって求めればよいでしょうか。三角比を使います。ここには直角三角形があり、斜辺の長さ、つまり z の絶対値がわかっています。極形式にはサインもコサインも出てくるので、角 φ をサインとコサインの両方を使って表す必要があります。三角比の定義から、次の式が成り立ちます。

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

これらの式から、角 φ そのものを求められます。極形式にはサインとコサインを含めて書くので、角を求めておく必要があるのです。

例題

a + bi の形の複素数 $z=\sqrt{3}+i$ を極形式に直しなさい。まず、z の絶対値を計算します。

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

すると、次の式が成り立ちます。

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

ここで、電卓でアークサインとアークコサインを計算してもよいし、よく使う角の三角比の表を使ってもかまいません。得られた値はどちらも表にある値なので、今回は電卓を使いません。

$\sin \phi =\frac{1}{2}$ なら、角 φ は π/6 か 5π/6 です。$\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ なら、角 φ は π/6 か 11π/6 です。両方に共通するのは角 π/6 で、この角を使えば、前の式に書いた値が得られます。

かけ算と割り算

極形式の複素数も、もちろんかけたり割ったりできます。三角関数の加法定理を使うと、2つの複素数の積と商の公式を導けます。2つの複素数 z₁ と z₂ を考えます。

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

公式は次のとおりです。

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$