Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

Δεν συμφέρει πάντα να έχουμε τον μιγαδικό αριθμό σε αλγεβρική μορφή και γι' αυτό εισάγεται και η τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού.

Πώς μπορούμε να παραστήσουμε ένα σημείο στο επίπεδο;

Ξέρουμε ότι στη γεωμετρική παράσταση ο μιγαδικός αριθμός z = x + yi παριστάνει ένα σημείο στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτό το σημείο έχει συντεταγμένες (x, y). Με ποιον άλλο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε το σημείο z, εκτός από το να γράψουμε τις συντεταγμένες (x, y);

Μπορούμε να υπολογίσουμε ποια γωνία σχηματίζει το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το σημείο z με την αρχή με τον άξονα x'x (ακριβέστερα με τον θετικό ημιάξονά του). Έτσι θα ξέρουμε προς ποια κατεύθυνση βρίσκεται το σημείο z από την αρχή. Για να βρούμε πού ακριβώς βρίσκεται, πρέπει να ξέρουμε και την απόσταση από την αρχή. Με αυτά τα δύο στοιχεία μπορούμε να ορίσουμε ακριβώς το σημείο z στο μιγαδικό επίπεδο.

Τριγωνομετρική μορφή

Το επόμενο σχήμα συνοψίζει όλα όσα πρέπει να ξέρουμε για να μπορέσουμε να εκφράσουμε τον μιγαδικό αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή:

Όπως φαίνεται, πρέπει να ξέρουμε το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος από το σημείο z ως την αρχή, που ισούται με το μέτρο του αριθμού z – αυτό ήδη ξέρουμε να το υπολογίζουμε. Επιπλέον πρέπει να ξέρουμε τη γωνία φ. Η τριγωνομετρική μορφή του μιγαδικού αριθμού είναι τότε η εξής:

$$z=|z|(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\phi +i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\phi )$$

Πώς βρίσκουμε τη γωνία φ; Θα χρησιμοποιήσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Εδώ έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και ξέρουμε το μήκος της υποτείνουσας, που είναι το μέτρο του αριθμού z. Στην τριγωνομετρική μορφή έχουμε και ημίτονο και συνημίτονο, οπότε πρέπει να εκφράσουμε τη γωνία φ και με τις δύο συναρτήσεις. Σύμφωνα με τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ισχύει ότι:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Από αυτούς τους τύπους μπορούμε να βρούμε την ίδια τη γωνία φ. Ο προσδιορισμός της γωνίας είναι απαραίτητος, επειδή την τριγωνομετρική μορφή τη γράφουμε μαζί με το ημίτονο και το συνημίτονο.

Παράδειγμα

Μετάτρεψε τον μιγαδικό αριθμό από την αλγεβρική στην τριγωνομετρική μορφή: $z=\sqrt{3}+i$. Πρώτα υπολογίζουμε το μέτρο του αριθμού z, που ισούται με:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Τώρα λοιπόν ισχύει:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\phi & =& \frac{1}{2}\\ \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Αυτή τη στιγμή μπορούμε είτε να χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή τσέπης και να υπολογίσουμε το τόξο ημιτόνου και το τόξο συνημιτόνου, είτε να αξιοποιήσουμε τον πίνακα των βασικών τριγωνομετρικών τιμών. Και οι δύο τιμές που βρήκαμε είναι τιμές του πίνακα, οπότε αυτή τη φορά δεν θα χρησιμοποιήσουμε υπολογιστή τσέπης.

Αν ισχύει ότι $\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }\phi =\frac{1}{2}$, τότε η γωνία φ ισούται είτε με π/6 είτε με 5π/6. Αν ισχύει ότι $\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }\phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, τότε η γωνία φ ισούται είτε με τη γωνία π/6 είτε με 11π/6. Η τομή αυτών των δυνατοτήτων είναι η γωνία π/6 και, χρησιμοποιώντας αυτή τη γωνία, παίρνουμε τις τιμές που γράψαμε στην προηγούμενη εξίσωση.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Τους μιγαδικούς αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή μπορούμε φυσικά να τους πολλαπλασιάζουμε ή να τους διαιρούμε. Με τους τύπους αθροίσματος γωνιών μπορούμε να εξαγάγουμε τύπους για το γινόμενο και το πηλίκο δύο μιγαδικών αριθμών. Έστω δύο μιγαδικοί αριθμοί z₁ και z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }{\phi }_1+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }{\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }{\phi }_2+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }{\phi }_2)\end{array}$$

Οι ίδιοι οι τύποι έχουν την εξής μορφή:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }({\phi }_1+{\phi }_2)+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }({\phi }_1-{\phi }_2)+i\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$