Polær form af et komplekst tal

Det er ikke altid en fordel at have det komplekse tal i rektangulær form, og derfor indfører man også den polære form af et komplekst tal.

Hvordan kan man angive et punkt i planen?

Vi ved, at et komplekst tal z = x + yi i den geometriske fremstilling er et punkt i Gauss' talplan. Dette punkt har koordinaterne (x, y). På hvilken anden måde kan vi bestemme punktet z end ved at skrive koordinaterne (x, y) op?

Vi kan beregne, hvilken vinkel forbindelseslinjen mellem punktet z og origo danner med x-aksen (eller rettere dens positive del). Så ved vi, i hvilken retning fra origo punktet z ligger. For at finde ud af, hvor præcis det ligger, skal vi desuden kende afstanden fra origo. Med disse to oplysninger kan vi bestemme punktet z i Gauss' talplan præcist.

Polær form

Følgende figur sammenfatter, hvad vi skal kende for at kunne angive et komplekst tal i polær form:

Som det ses, skal vi kende længden af forbindelseslinjen fra punktet z til origo, som er lig med den numeriske værdi af tallet z — den kan vi allerede beregne. Desuden skal vi kende vinklen φ. Den polære form af det komplekse tal ser så sådan ud:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Hvordan finder vi vinklen φ? Det gør vi ved hjælp af trigonometriske funktioner. Vi har her en retvinklet trekant og kender længden af hypotenusen, som er den numeriske værdi af tallet z. I den polære form har vi både sinus og cosinus, så vi må udtrykke vinklen φ ved hjælp af begge funktioner. Ud fra de trigonometriske funktioners egenskaber gælder dog, at:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Ud fra disse formler kan vi udlede selve vinklen φ. Det er nødvendigt at udlede vinklen, fordi vi skriver den polære form med både sinus og cosinus.

Eksempel

Omskriv det komplekse tal i rektangulær form til polær form: $z=\sqrt{3}+i$. Først beregner vi den numeriske værdi af tallet z, som er lig med:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Nu gælder så:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Nu kan vi enten bruge en lommeregner og beregne arcus sinus og arcus cosinus, eller vi kan bruge tabellen over de grundlæggende trigonometriske værdier. Begge værdier, vi fik, er tabelværdier, så denne gang lader vi lommeregneren ligge.

Hvis $\sin \phi =\frac{1}{2}$, er vinklen φ lig med enten π/6 eller 5π/6. Hvis $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, er vinklen φ lig med enten vinklen π/6 eller 11π/6. Fællesmængden af disse muligheder er vinklen π/6, og når vi bruger denne vinkel, får vi de værdier, som vi skrev op i den foregående ligning.

Multiplikation og division

Komplekse tal i polær form kan vi naturligvis gange eller dividere. Ved hjælp af additionsformlerne kan vi udlede formler for produktet og kvotienten af to komplekse tal. Tag to komplekse tal z₁ og z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Selve formlerne ser sådan ud:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$