Forma trigonométrica de un número complejo

No siempre conviene tener el número complejo en forma binómica, y por eso se introduce además la forma trigonométrica del número complejo.

¿Cómo podemos expresar un punto del plano?

Sabemos que, en la representación geométrica, el número complejo z = x + yi es un punto del plano complejo. Este punto tiene coordenadas (x, y). ¿De qué otra manera podemos definir el punto z, además de escribir sus coordenadas (x, y)?

Podemos calcular el ángulo que forma con el eje x (o más bien con su semieje positivo) la recta que une el punto z con el origen. Así sabremos en qué dirección desde el origen está el punto z. Para saber dónde está exactamente, necesitamos conocer además la distancia al origen. Con estos dos datos ya podemos definir con precisión el punto z en el plano complejo.

Forma trigonométrica

La siguiente figura resume qué necesitamos conocer para expresar un número complejo en forma trigonométrica:

Como se ve, necesitamos la longitud del segmento que une el punto z con el origen, que es igual al módulo del número z (eso ya sabemos calcularlo). Además necesitamos el ángulo φ. La forma trigonométrica del número complejo es entonces:

$$z=|z|(\cos \phi +i\mathrm{sen}\phi )$$

¿Cómo hallamos el ángulo φ? Usamos las razones trigonométricas. Tenemos un triángulo rectángulo y conocemos la longitud de la hipotenusa, que es el módulo del número z. En la forma trigonométrica aparecen tanto el seno como el coseno, así que el ángulo φ debemos expresarlo con ambas funciones. Por las propiedades de las razones trigonométricas se cumple que:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}\phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

De estas fórmulas podemos deducir el propio ángulo φ. Es necesario deducirlo, porque la forma trigonométrica se escribe con el seno y el coseno.

Ejemplo

Pasa a forma trigonométrica el número complejo dado en forma binómica: $z=\sqrt{3}+i$. Primero calculamos el módulo del número z, que es:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Ahora se cumple:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}\phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Llegados aquí, podemos usar la calculadora y calcular el arcoseno y el arcocoseno, o bien podemos recurrir a la tabla de razones trigonométricas de los ángulos notables. Los dos valores que nos han salido están en la tabla, así que esta vez no usaremos la calculadora.

Si $\mathrm{sen}\phi =\frac{1}{2}$, el ángulo φ es igual a π/6 o a 5π/6. Si $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, el ángulo φ es igual a π/6 o a 11π/6. La intersección de estas posibilidades es el ángulo π/6; con este ángulo obtenemos los valores que escribimos en la ecuación anterior.

Multiplicación y división

Los números complejos en forma trigonométrica podemos, naturalmente, multiplicarlos y dividirlos. Con las fórmulas de adición se pueden deducir las fórmulas del producto y del cociente de dos números complejos. Tomemos dos números complejos z₁ y z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\mathrm{sen}{\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\mathrm{sen}{\phi }_2)\end{array}$$

Las fórmulas son estas:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\mathrm{sen}({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\mathrm{sen}({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$