複素数平面

複素数は、ふつうの座標平面に表すこともできます。複素数を表す平面を、複素数平面といいます（ガウス平面とも呼ばれます）。

複素数平面への表し方

複素数 z = x + yi は、平面上の座標 (x, y) の点で表します。複素数平面では、x 軸を実軸、y 軸を虚軸といいます。たとえば、2つの複素数 z₁ = 2 + 5i と z₂ = 4 − 3i を考えます。複素数平面では、次のように表せます。

反数と共役複素数

複素数平面では、反数と共役複素数を簡単にかき入れられます。複素数 z = 3 + 5i を考えます。z の反数 −3 − 5i は、複素数平面の原点に関して、もとの数と対称な位置にあります。

共役複素数では虚部の符号が変わるので、共役複素数はもとの数と実軸（x 軸）に関して対称になります。次の図を見てみましょう（$\bar{z}$ は共役複素数を表します）。

絶対値

実数の範囲では、絶対値はその数から符号をとったものです。複素数では、絶対値の計算は少し複雑になります。複素数の絶対値は、複素数平面上の点と原点との距離を表すからです。

原点からの距離は、三平方の定理を使って計算できます。三平方の定理から、x と y をそれぞれ複素数の実部と虚部として、|z|² = x² + y² が成り立ちます。あとは平方根をとれば、z = x + yi の絶対値が得られます。

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$