Kompleksiluvun napakoordinaattimuoto

Aina ei kannata pitää kompleksilukua algebrallisessa muodossa, ja siksi otetaan käyttöön myös kompleksiluvun napakoordinaattimuoto.

Miten tason pisteen voi ilmaista?

Tiedämme, että geometrisessa esityksessä kompleksiluku z = x + yi on piste Gaussin tasossa. Pisteen koordinaatit ovat (x, y). Millä muulla tavalla voimme määrittää pisteen z kuin kirjoittamalla koordinaatit (x, y)?

Voimme laskea, minkä kulman pisteen z ja origon yhdysjana muodostaa x-akselin (tarkemmin sen positiivisen puolen) kanssa. Silloin tiedämme, missä suunnassa piste z on origosta katsottuna. Jotta tietäisimme, missä kohdassa se tarkalleen on, tarvitsemme vielä etäisyyden origosta. Näillä kahdella tiedolla pystymme määrittämään pisteen z Gaussin tasossa täsmälleen.

Napakoordinaattimuoto

Seuraava kuva kokoaa yhteen sen, mitä tarvitsemme tietää, jotta voimme kirjoittaa kompleksiluvun napakoordinaattimuodossa:

Kuten kuvasta näkyy, tarvitsemme pisteen z ja origon välisen janan pituuden, joka on yhtä suuri kuin luvun z itseisarvo, ja sen osaamme jo laskea. Lisäksi tarvitsemme kulman φ. Kompleksiluvun napakoordinaattimuoto on tällöin seuraava:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Miten kulma φ saadaan selville? Käytämme apuna trigonometrisia funktioita. Meillä on suorakulmainen kolmio, ja tunnemme hypotenuusan pituuden, joka on luvun z itseisarvo. Napakoordinaattimuodossa on sekä sini että kosini, joten kulma φ täytyy määrittää molempien funktioiden avulla. Trigonometristen funktioiden ominaisuuksien perusteella pätee:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Näistä kaavoista voimme johtaa kulman φ. Kulma on pakko ratkaista, koska napakoordinaattimuoto kirjoitetaan sinin ja kosinin kanssa.

Esimerkki

Muunna kompleksiluku algebrallisesta muodosta napakoordinaattimuotoon: $z=\sqrt{3}+i$. Ensin laskemme luvun z itseisarvon, joka on

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Nyt pätee:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Tässä vaiheessa voimme joko käyttää laskinta ja laskea arkussinin ja arkuskosinin tai hyödyntää erikoiskulmien trigonometristen funktioiden arvojen taulukkoa. Molemmat saamamme arvot ovat taulukkoarvoja, joten tällä kertaa laskinta ei tarvita.

Jos $\sin \phi =\frac{1}{2}$, kulma φ on joko π/6 tai 5π/6. Jos $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, kulma φ on joko π/6 tai 11π/6. Näiden vaihtoehtojen leikkaus on kulma π/6, ja sitä käyttämällä saamme edellisessä yhtälössä kirjoittamamme arvot.

Kerto- ja jakolasku

Napakoordinaattimuodossa olevia kompleksilukuja voi tietenkin kertoa ja jakaa. Yhteenlaskukaavojen avulla voidaan johtaa kaavat kahden kompleksiluvun tulolle ja osamäärälle. Olkoon meillä kaksi kompleksilukua z₁ ja z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Itse kaavat ovat seuraavat:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$