A komplex szám trigonometrikus alakja

Nem mindig célszerű a komplex számot algebrai alakban használni, ezért bevezetjük a komplex szám trigonometrikus alakját is.

Hogyan adhatunk meg egy pontot a síkon?

Tudjuk, hogy a geometriai ábrázolásban a z = x + yi komplex számot a Gauss-sík egy pontja ábrázolja. A pont koordinátái (x; y). Hogyan határozhatjuk meg még a z pontot az (x; y) koordináták felsorolásán kívül?

Kiszámíthatjuk, mekkora szöget zár be a z pontot és az origót összekötő szakasz az x tengellyel (pontosabban annak pozitív felével). Ezzel megtudjuk, melyik irányban fekszik a z pont az origótól nézve. Hogy pontosan hol fekszik, ahhoz még az origótól mért távolságot is ismernünk kell. E két adattal már pontosan meg tudjuk adni a z pontot a Gauss-síkon.

Trigonometrikus alak

A következő ábra összefoglalja, mit kell ismernünk ahhoz, hogy a komplex számot trigonometrikus alakban fel tudjuk írni:

Ahogy látható, ismernünk kell a z pontot az origóval összekötő szakasz hosszát, amely egyenlő a z szám abszolút értékével – ezt már ki tudjuk számolni. Ezenkívül ismernünk kell a φ szöget. A komplex szám trigonometrikus alakja ekkor így néz ki:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Hogyan állapítjuk meg a φ szöget? Ehhez a szögfüggvényeket használjuk. Van itt egy derékszögű háromszög, és ismerjük az átfogó hosszát, ez a z szám abszolút értéke. A trigonometrikus alakban szinusz és koszinusz is szerepel, ezért a φ szöget mindkét függvénnyel ki kell fejeznünk. A szögfüggvények tulajdonságai alapján ugyanakkor igaz, hogy:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Ezekből a képletekből levezethetjük magát a φ szöget. A szöget le kell vezetnünk, mert a trigonometrikus alakot szinusszal és koszinusszal együtt írjuk fel.

Példa

Váltsd át a komplex számot algebrai alakból trigonometrikus alakba: $z=\sqrt{3}+i$. Először kiszámítjuk a z szám abszolút értékét, amely egyenlő:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Most tehát igaz:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Ezen a ponton használhatunk számológépet, és kiszámíthatjuk az arkusz szinuszt és az arkusz koszinuszt, vagy felhasználhatjuk a nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek táblázatát. Mindkét kapott érték szerepel a táblázatban, ezért ezúttal nem használunk számológépet.

Ha $\sin \phi =\frac{1}{2}$, akkor a φ szög vagy π/6, vagy 5π/6. Ha $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, akkor a φ szög vagy π/6, vagy 11π/6. E lehetőségek metszete a π/6 szög, ennek használatával kapjuk az előző egyenletben felírt értékeket.

Szorzás és osztás

A trigonometrikus alakú komplex számokat természetesen szorozhatjuk és oszthatjuk is. Az addíciós képletek segítségével levezethetők a két komplex szám szorzatának és hányadosának képletei. Legyen két komplex számunk, z₁ és z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Maguk a képletek így néznek ki:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$