Goniometrische vorm van een complex getal

Het is niet altijd handig om een complex getal in de standaardvorm te hebben, en daarom voeren we ook nog de goniometrische vorm van een complex getal in.

Hoe kunnen we een punt in het vlak vastleggen?

We weten dat een complex getal z = x + yi in de meetkundige voorstelling een punt in het complexe vlak is. Dit punt heeft coördinaten (x, y). Op welke andere manier kunnen we het punt z nog vastleggen, behalve door de coördinaten (x, y) op te schrijven?

We kunnen berekenen welke hoek de verbindingslijn van het punt z en de oorsprong maakt met de x-as (preciezer: met het positieve deel ervan). Dan weten we in welke richting het punt z vanuit de oorsprong ligt. Om te weten waar het precies ligt, moeten we ook de afstand tot de oorsprong weten. Met deze twee gegevens kunnen we het punt z in het complexe vlak precies vastleggen.

Goniometrische vorm

De volgende figuur laat zien wat we allemaal moeten weten om een complex getal in de goniometrische vorm te kunnen schrijven:

Zoals je ziet, moeten we de lengte van de verbindingslijn van het punt z naar de oorsprong weten, en die is gelijk aan de absolute waarde van het getal z. Die kunnen we al berekenen. Verder moeten we de hoek φ weten. De goniometrische vorm van een complex getal ziet er dan zo uit:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Hoe vinden we de hoek φ? Daarvoor gebruiken we de goniometrische functies. We hebben hier een rechthoekige driehoek en we kennen de lengte van de schuine zijde, dat is de absolute waarde van het getal z. In de goniometrische vorm komen zowel sinus als cosinus voor, dus we moeten de hoek φ met beide functies uitdrukken. Uit de eigenschappen van de goniometrische functies volgt daarbij dat:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Uit deze formules kunnen we de hoek φ zelf afleiden. Dat is nodig, omdat we de goniometrische vorm opschrijven met sinus en cosinus.

Voorbeeld

Zet het complexe getal in de standaardvorm om naar de goniometrische vorm: $z=\sqrt{3}+i$. Eerst berekenen we de absolute waarde van het getal z, die gelijk is aan:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Nu geldt:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Nu kunnen we of de rekenmachine gebruiken en de arcsinus en arccosinus berekenen, of we kunnen gebruikmaken van de tabel met waarden van goniometrische functies van basishoeken. Beide waarden die we gekregen hebben, staan in die tabel, dus deze keer gebruiken we de rekenmachine niet.

Als geldt dat $\sin \phi =\frac{1}{2}$, dan is de hoek φ gelijk aan π/6 of 5π/6. Als geldt dat $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, dan is de hoek φ gelijk aan π/6 of 11π/6. Alleen de hoek π/6 komt in beide gevallen voor. Met deze hoek krijgen we de waarden die we in de vorige vergelijking hebben opgeschreven.

Vermenigvuldigen en delen

Complexe getallen in de goniometrische vorm kunnen we natuurlijk vermenigvuldigen en delen. Met de somformules voor goniometrische functies kunnen we formules afleiden voor het product en het quotiënt van twee complexe getallen. Neem twee complexe getallen z₁ en z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

De formules zelf zien er zo uit:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$