Forma trigonometrica di un numero complesso

Non sempre conviene avere un numero complesso in forma algebrica, per questo si introduce anche la forma trigonometrica del numero complesso.

Come si può esprimere un punto nel piano?

Sappiamo che nella rappresentazione geometrica il numero complesso z = x + yi è un punto del piano di Gauss. Questo punto ha coordinate (x; y). In quale altro modo possiamo individuare il punto z, oltre a scrivere le coordinate (x; y)?

Possiamo calcolare l’angolo che il segmento che congiunge il punto z con l’origine forma con l’asse x (o meglio con il suo semiasse positivo). Così sapremo in quale direzione, a partire dall’origine, si trova il punto z. Per sapere dove si trova esattamente, ci serve anche la distanza dall’origine. Con questi due dati siamo in grado di definire con precisione il punto z nel piano di Gauss.

Forma trigonometrica

La figura seguente riassume che cosa dobbiamo conoscere per esprimere un numero complesso in forma trigonometrica:

Come si vede, dobbiamo conoscere la lunghezza del segmento che va dal punto z all’origine, che è uguale al modulo del numero z: questo sappiamo già calcolarlo. Ci serve inoltre l’angolo φ. La forma trigonometrica del numero complesso si scrive così:

$$z=|z|(\cos \phi +i\mathrm{sen}\phi )$$

Come troviamo l’angolo φ? Usiamo le funzioni goniometriche. Qui abbiamo un triangolo rettangolo e conosciamo la lunghezza dell’ipotenusa, cioè il modulo del numero z. Nella forma trigonometrica compaiono sia il seno sia il coseno, quindi dobbiamo esprimere l’angolo φ con entrambe le funzioni. Dalle proprietà delle funzioni goniometriche, inoltre, vale che:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}\phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Da queste formule possiamo ricavare l’angolo φ stesso. Ricavare l’angolo è necessario, perché la forma trigonometrica si scrive con seno e coseno.

Esempio

Scrivi in forma trigonometrica il numero complesso dato in forma algebrica: $z=\sqrt{3}+i$. Per prima cosa calcoliamo il modulo del numero z, che è uguale a:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Ora vale quindi:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}\phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

A questo punto possiamo usare la calcolatrice e calcolare l’arcoseno e l’arcocoseno, oppure possiamo usare la tabella dei valori delle funzioni goniometriche degli angoli notevoli. Entrambi i valori ottenuti sono valori notevoli, quindi questa volta la calcolatrice non ci serve.

Se $\mathrm{sen}\phi =\frac{1}{2}$, allora l’angolo φ è uguale a π/6 oppure a 5π/6. Se $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, allora l’angolo φ è uguale a π/6 oppure a 11π/6. L’intersezione di queste possibilità è l’angolo π/6: usando questo angolo otteniamo i valori che abbiamo scritto nell’equazione precedente.

Moltiplicazione e divisione

I numeri complessi in forma trigonometrica si possono naturalmente moltiplicare o dividere. Con le formule di addizione si possono ricavare le formule per il prodotto e il quoziente di due numeri complessi. Prendiamo due numeri complessi z₁ e z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\mathrm{sen}{\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\mathrm{sen}{\phi }_2)\end{array}$$

Le formule vere e proprie sono queste:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\mathrm{sen}({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\mathrm{sen}({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$