Karmaşık Sayının Kutupsal Biçimi

Karmaşık sayıyı cebirsel biçimde yazmak her zaman işimize yaramaz; bu yüzden karmaşık sayının bir de kutupsal biçimi tanımlanır.

Düzlemde Bir Nokta Nasıl İfade Edilir?

Geometrik gösterimde z = x + yi karmaşık sayısının karmaşık düzlemde bir noktayı gösterdiğini biliyoruz. Bu noktanın koordinatları (x, y)’dir. z noktasını, (x, y) koordinatlarını yazmaktan başka hangi yolla belirleyebiliriz?

z noktasını başlangıç noktasına bağlayan doğru parçasının x ekseniyle (daha doğrusu x ekseninin pozitif yönüyle) yaptığı açıyı hesaplayabiliriz. Böylece z noktasının başlangıç noktasından hangi yönde bulunduğunu öğreniriz. Tam olarak nerede olduğunu bulmak için ayrıca başlangıç noktasına olan uzaklığı da bilmemiz gerekir. Bu iki bilgiyle z noktasını karmaşık düzlemde tam olarak belirleyebiliriz.

Kutupsal Biçim

Aşağıdaki şekil, karmaşık sayıyı kutupsal biçimde ifade edebilmek için nelerin bilinmesi gerektiğini özetliyor:

Görüldüğü gibi z noktasından başlangıç noktasına olan doğru parçasının uzunluğunu bilmemiz gerekir; bu, z sayısının mutlak değerine eşittir ve onu hesaplamayı zaten biliyoruz. Ayrıca φ açısını da bilmemiz gerekir. Karmaşık sayının kutupsal biçimi şöyle yazılır:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

φ açısını nasıl buluruz? Bunun için trigonometrik fonksiyonları kullanırız. Burada bir dik üçgen var ve hipotenüsün uzunluğunu biliyoruz; o da z sayısının mutlak değeridir. Kutupsal biçimde hem sinüs hem kosinüs bulunduğundan φ açısını her iki fonksiyonla da ifade etmemiz gerekir. Trigonometrik fonksiyonların özelliklerinden şu eşitlikler geçerlidir:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Bu formüllerden φ açısının kendisini çıkarabiliriz. Açıyı bulmak gereklidir, çünkü kutupsal biçimi sinüs ve kosinüsle birlikte yazıyoruz.

Örnek

Cebirsel biçimdeki karmaşık sayıyı kutupsal biçime çevir: $z=\sqrt{3}+i$. İlk olarak z sayısının mutlak değerini hesaplarız; o şuna eşittir:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Şimdi şunlar geçerlidir:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Bu noktada ya hesap makinesi kullanıp arksinüs ve arkkosinüs değerlerini hesaplayabiliriz ya da özel açıların trigonometrik değerleri tablosundan yararlanabiliriz. Bulduğumuz iki değer de tablodaki değerler olduğundan bu sefer hesap makinesi kullanmayacağız.

$\sin \phi =\frac{1}{2}$ ise φ açısı π/6 ya da 5π/6’dır. $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ise φ açısı π/6 ya da 11π/6’dır. Bu olasılıkların kesişimi π/6 açısıdır; bu açıyı kullanınca önceki eşitlikte yazdığımız değerleri elde ederiz.

Çarpma ve Bölme

Kutupsal biçimdeki karmaşık sayıları elbette çarpabilir ya da bölebiliriz. Trigonometrik toplam–fark formülleri yardımıyla iki karmaşık sayının çarpımı ve bölümü için formüller türetilebilir. z₁ ve z₂ gibi iki karmaşık sayı alalım:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Formüllerin kendisi şöyledir:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$