Forma trigonométrica de um número complexo

Nem sempre compensa ter o número complexo na forma algébrica e por isso se introduz também a forma trigonométrica do número complexo.

Como podemos descrever um ponto no plano?

Sabemos que, na representação geométrica, o número complexo z = x + yi representa um ponto no plano de Argand-Gauss. Esse ponto tem coordenadas (x, y). De que outro modo podemos definir o ponto z, além de escrever as coordenadas (x, y)?

Podemos calcular que ângulo o segmento que liga o ponto z à origem forma com o eixo x (ou melhor, com o seu semieixo positivo). Assim saberemos em que direção, a partir da origem, está o ponto z. Para saber exatamente onde ele está, precisamos conhecer também a distância até a origem. Com esses dois dados já conseguimos definir exatamente o ponto z no plano de Argand-Gauss.

Forma trigonométrica

A figura a seguir resume o que precisamos conhecer para escrever um número complexo na forma trigonométrica:

Como se vê, precisamos conhecer o comprimento do segmento do ponto z até a origem, que é igual ao módulo do número z — isso já sabemos calcular. Além disso, precisamos conhecer o ângulo φ. A forma trigonométrica do número complexo fica então assim:

$$z=|z|(\cos \phi +i\mathrm{sen}\phi )$$

Como descobrimos o ângulo φ? Usamos para isso as funções trigonométricas. Temos aqui um triângulo retângulo e conhecemos o comprimento da hipotenusa, que é o módulo do número z. Na forma trigonométrica aparecem tanto o seno quanto o cosseno, então precisamos expressar o ângulo φ por meio das duas funções. Mas, pelas propriedades das funções trigonométricas, vale que:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}\phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Dessas fórmulas podemos deduzir o próprio ângulo φ. É preciso deduzir o ângulo porque a forma trigonométrica é escrita com o seno e o cosseno.

Exemplo

Converta o número complexo da forma algébrica para a forma trigonométrica: $z=\sqrt{3}+i$. Primeiro calculamos o módulo do número z, que é igual a:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Agora vale:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{sen}\phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Neste momento, podemos usar a calculadora e calcular o arco seno e o arco cosseno, ou então usar a tabela dos valores notáveis das funções trigonométricas. Os dois valores que encontramos são notáveis, então desta vez não usaremos a calculadora.

Se $\mathrm{sen}\phi =\frac{1}{2}$, então o ângulo φ é igual a π/6 ou a 5π/6. Se $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, então o ângulo φ é igual a π/6 ou a 11π/6. A interseção dessas possibilidades é o ângulo π/6; usando esse ângulo, obtemos os valores que escrevemos na equação anterior.

Multiplicação e divisão

Naturalmente, podemos multiplicar ou dividir números complexos na forma trigonométrica. Com as fórmulas de adição das funções trigonométricas, é possível deduzir as fórmulas do produto e do quociente de dois números complexos. Tomemos dois números complexos z₁ e z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\mathrm{sen}{\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\mathrm{sen}{\phi }_2)\end{array}$$

As fórmulas em si são estas:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\mathrm{sen}({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\mathrm{sen}({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$