Forma trigonometrică a unui număr complex

Nu este mereu avantajos să avem numărul complex în forma algebrică și de aceea se introduce și forma trigonometrică a numărului complex.

Cum putem exprima un punct în plan?

Știm că în reprezentarea geometrică numărul complex z = x + yi este un punct în planul lui Gauss. Acest punct are coordonatele (x, y). În ce alt mod mai putem defini punctul z, în afară de a scrie coordonatele (x, y)?

Putem calcula ce unghi formează dreapta care unește punctul z cu originea cu axa Ox (mai precis, cu semiaxa ei pozitivă). Astfel vom ști în ce direcție se află punctul z față de origine. Ca să aflăm unde se află exact, mai avem nevoie de distanța până la origine. Cu aceste două date putem defini exact punctul z în planul lui Gauss.

Forma trigonometrică

Figura următoare rezumă ce trebuie să cunoaștem ca să putem exprima numărul complex în forma trigonometrică:

După cum se vede, trebuie să cunoaștem lungimea segmentului de la punctul z la origine, care este egală cu modulul numărului z – pe acesta știm deja să îl calculăm. Mai avem nevoie de unghiul φ, numit argument. Forma trigonometrică a numărului complex arată astfel:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Cum aflăm unghiul φ? Folosim funcțiile trigonometrice. Avem aici un triunghi dreptunghic și cunoaștem lungimea ipotenuzei, adică modulul numărului z. În forma trigonometrică apar și sinusul, și cosinusul, deci trebuie să determinăm unghiul φ cu ajutorul ambelor funcții. Din proprietățile funcțiilor trigonometrice avem:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Din aceste formule putem deduce unghiul φ. Este necesar să determinăm unghiul, deoarece forma trigonometrică se scrie cu sinus și cosinus.

Exemplu

Scrie în forma trigonometrică numărul complex dat în forma algebrică: $z=\sqrt{3}+i$. Mai întâi calculăm modulul numărului z, care este egal cu:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Acum avem:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

În acest moment putem fie să folosim calculatorul și să calculăm arcsinus și arccosinus, fie să folosim tabelul valorilor trigonometrice uzuale. Ambele valori obținute sunt valori din tabel, deci de data aceasta nu vom folosi calculatorul.

Dacă $\sin \phi =\frac{1}{2}$, atunci unghiul φ este egal fie cu π/6, fie cu 5π/6. Dacă $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, atunci unghiul φ este egal fie cu π/6, fie cu 11π/6. Intersecția acestor posibilități este unghiul π/6; folosind acest unghi obținem valorile pe care le-am scris în egalitatea precedentă.

Înmulțirea și împărțirea

Numerele complexe în forma trigonometrică se pot, desigur, înmulți sau împărți. Cu ajutorul formulelor de adunare se pot deduce formulele pentru produsul și câtul a două numere complexe. Fie două numere complexe z₁ și z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Formulele arată astfel:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$