Trigonometrische Form einer komplexen Zahl

Es lohnt sich nicht immer, die komplexe Zahl in der algebraischen Form zu haben, und deshalb führt man noch die trigonometrische Form der komplexen Zahl ein.

Wie lässt sich ein Punkt in der Ebene beschreiben?

Wir wissen, dass eine komplexe Zahl z = x + yi in der geometrischen Darstellung einen Punkt in der gaußschen Zahlenebene darstellt. Dieser Punkt hat die Koordinaten (x ∣ y). Auf welche andere Weise können wir den Punkt z noch festlegen, außer indem wir die Koordinaten (x ∣ y) angeben?

Wir können berechnen, welchen Winkel die Verbindungslinie des Punktes z mit dem Ursprung mit der x-Achse (genauer mit ihrer positiven Hälfte) einschließt. Damit wissen wir, in welcher Richtung der Punkt z vom Ursprung aus liegt. Um zu wissen, wo er genau liegt, müssen wir noch den Abstand vom Ursprung kennen. Mit diesen beiden Angaben können wir den Punkt z in der gaußschen Zahlenebene genau festlegen.

Trigonometrische Form

Die folgende Abbildung fasst zusammen, was wir kennen müssen, um die komplexe Zahl in der trigonometrischen Form angeben zu können:

Wie man sieht, brauchen wir die Länge der Verbindungslinie vom Punkt z zum Ursprung, die gleich dem Betrag der Zahl z ist – den können wir schon berechnen. Außerdem brauchen wir den Winkel φ. Die trigonometrische Form der komplexen Zahl sieht dann so aus:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Wie finden wir den Winkel φ? Dazu nutzen wir die Winkelfunktionen. Wir haben hier ein rechtwinkliges Dreieck und kennen die Länge der Hypotenuse, das ist der Betrag der Zahl z. In der trigonometrischen Form kommen sowohl Sinus als auch Kosinus vor, wir müssen den Winkel φ also mithilfe beider Funktionen bestimmen. Dabei gilt aufgrund der Eigenschaften der Winkelfunktionen:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

Aus diesen Formeln können wir den Winkel φ selbst herleiten. Das ist nötig, weil wir die trigonometrische Form einschließlich Sinus und Kosinus aufschreiben.

Beispiel

Wandle die komplexe Zahl aus der algebraischen Form in die trigonometrische Form um: $z=\sqrt{3}+i$. Zuerst berechnen wir den Betrag der Zahl z:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Nun gilt:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

Jetzt können wir entweder den Taschenrechner verwenden und Arkussinus und Arkuskosinus berechnen, oder wir nutzen die Tabelle der wichtigsten Werte der Winkelfunktionen. Beide Werte, die wir erhalten haben, stehen in der Tabelle, also brauchen wir diesmal keinen Taschenrechner.

Gilt $\sin \phi =\frac{1}{2}$, dann ist der Winkel φ gleich π/6 oder 5π/6. Gilt $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, dann ist der Winkel φ gleich π/6 oder 11π/6. Die Schnittmenge dieser Möglichkeiten ist der Winkel π/6. Mit diesem Winkel erhalten wir die Werte, die wir in der vorherigen Gleichung aufgeschrieben haben.

Multiplikation und Division

Komplexe Zahlen in der trigonometrischen Form können wir selbstverständlich multiplizieren oder dividieren. Mithilfe der Additionstheoreme lassen sich Formeln für das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen herleiten. Nehmen wir zwei komplexe Zahlen z₁ und z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Die Formeln selbst sehen so aus:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$