Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Il n’est pas toujours avantageux d’avoir un nombre complexe sous forme algébrique ; c’est pourquoi on introduit aussi la forme trigonométrique d’un nombre complexe.

Comment repérer un point du plan ?

On sait que, dans la représentation géométrique, le nombre complexe z = x + iy correspond à un point du plan complexe. Ce point a pour coordonnées (x ; y). Existe-t-il une autre manière de définir le point z, en dehors de donner ses coordonnées (x ; y) ?

On peut calculer l’angle que forme le segment qui joint le point z à l’origine avec l’axe des abscisses (plus précisément avec sa partie positive). On sait alors dans quelle direction, à partir de l’origine, se trouve le point z. Pour savoir où il se trouve exactement, il faut aussi connaître sa distance à l’origine. Avec ces deux données, on peut définir exactement le point z dans le plan complexe.

Forme trigonométrique

La figure suivante résume ce qu’il faut connaître pour écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique :

Comme on le voit, il faut connaître la longueur du segment qui joint le point z à l’origine, qui est égale au module du nombre z – on sait déjà le calculer. Il faut aussi connaître l’angle φ. La forme trigonométrique d’un nombre complexe s’écrit alors :

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Comment trouver l’angle φ ? On utilise pour cela les fonctions trigonométriques. Nous avons ici un triangle rectangle dont on connaît l’hypoténuse : c’est le module du nombre z. La forme trigonométrique contient à la fois le sinus et le cosinus, donc il faut déterminer l’angle φ à l’aide des deux fonctions. Or, d’après les propriétés des fonctions trigonométriques, on a :

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

De ces formules, on peut déduire l’angle φ lui-même. Il faut le déterminer, puisque la forme trigonométrique s’écrit avec le sinus et le cosinus.

Exemple

Écris sous forme trigonométrique le nombre complexe donné sous forme algébrique : $z=\sqrt{3}+i$. On commence par calculer le module du nombre z, qui vaut :

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

On a donc maintenant :

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

On peut alors soit utiliser la calculatrice et calculer l’arcsinus et l’arccosinus, soit utiliser le tableau des valeurs trigonométriques des angles remarquables. Les deux valeurs obtenues figurent dans ce tableau, donc cette fois nous n’utiliserons pas la calculatrice.

Si $\sin \phi =\frac{1}{2}$, alors l’angle φ vaut soit π/6, soit 5π/6. Si $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, alors l’angle φ vaut soit π/6, soit 11π/6. L’intersection de ces possibilités est l’angle π/6 ; avec cet angle, on retrouve les valeurs que nous avons écrites dans l’égalité précédente.

Multiplication et division

On peut bien sûr multiplier ou diviser des nombres complexes sous forme trigonométrique. Les formules d’addition permettent d’établir les formules du produit et du quotient de deux nombres complexes. Prenons deux nombres complexes z₁ et z₂ :

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Les formules sont les suivantes :

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$