Тригонометричен вид на комплексното число

Не винаги е удобно да имаме комплексното число в алгебричен вид и затова се въвежда още тригонометричен вид на комплексното число.

Как можем да зададем точка в равнината?

Знаем, че в геометричното представяне комплексното число z = x + yi е точка в равнината на Гаус. Тази точка има координати (x; y). По какъв друг начин можем да определим дадената точка z, освен с изписване на координатите (x; y)?

Можем да пресметнем какъв ъгъл сключва отсечката, която свързва точката z с началото, с оста x (или по-точно с нейната положителна полуос). Така ще знаем в каква посока от началото лежи точката z. За да разберем къде точно лежи, трябва да знаем още разстоянието до началото. С тези две данни вече можем да определим точно точката z в равнината на Гаус.

Тригонометричен вид

Следващата фигура обобщава какво трябва да знаем, за да можем да изразим комплексното число в тригонометричен вид:

Както се вижда, трябва да знаем дължината на отсечката от точката z до началото, която е равна на модула на числото z – това вече умеем да пресмятаме. Освен това трябва да знаем ъгъла φ. Тригонометричният вид на комплексното число изглежда така:

$$z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )$$

Как намираме ъгъла φ? Използваме тригонометричните функции. Тук имаме правоъгълен триъгълник и знаем дължината на хипотенузата, която е модулът на числото z. В тригонометричния вид имаме както синус, така и косинус, затова трябва да изразим ъгъла φ и с двете функции. От свойствата на тригонометричните функции следва, че:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{y}{|z|}\\ \cos \phi & =& \frac{x}{|z|}\end{array}$$

От тези формули можем да изведем самия ъгъл φ. Извеждането на ъгъла е необходимо, защото тригонометричния вид записваме със синус и косинус.

Пример

Преобразувай комплексното число от алгебричен в тригонометричен вид: $z=\sqrt{3}+i$. Първо пресмятаме модула на числото z, който е равен на:

$$|z|=\sqrt{3+1}=2$$

Сега имаме:

$$\begin{array}{rcl}\sin \phi & =& \frac{1}{2}\\ \cos \phi & =& \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$$

В този момент можем или да използваме калкулатор и да пресметнем арксинус и арккосинус, или да използваме таблицата с основните тригонометрични стойности. И двете стойности, които получихме, са таблични, така че този път няма да използваме калкулатор.

Ако $\sin \phi =\frac{1}{2}$, то ъгълът φ е равен или на π/6, или на 5π/6. Ако $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, то ъгълът φ е равен или на ъгъла π/6, или на 11π/6. Сечението на тези възможности е ъгълът π/6 и с него получаваме стойностите, които записахме в предишното уравнение.

Умножение и деление

Комплексните числа в тригонометричен вид можем, разбира се, да умножаваме и делим. С помощта на тригонометричните формули за сбор и разлика можем да изведем формулите за произведението и частното на две комплексни числа. Нека имаме две комплексни числа z₁ и z₂:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1& =& |z_1|(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)\\ z_2& =& |z_2|(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)\end{array}$$

Самите формули изглеждат така:

$$\begin{array}{rcl}{z}_1\cdot z_2& =& |z_1|\cdot |z_2|[\cos ({\phi }_1+{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1+{\phi }_2)]\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)+i\sin ({\phi }_1-{\phi }_2)]\end{array}$$