月ごとの利息

実際には、銀行が年利を示しながら、利息を月ごとにつけることがよくあります。月ごとの利率はどう計算すればよいでしょうか。

アース銀行の普通預金

アース銀行は、年2%の利息がつく、最高クラスの普通預金があることを自慢しています。年利を示しているのに、利息は毎月つけるので、1年で利息が全部で12回つきます。月ごとの利率はどれだけでしょうか。つまり、毎月いくらの利息がつくのでしょうか。

公式は、複利の公式から導けます。まず、ちょうど1年後に口座にいくらあるかを計算します。口座に10万円を預けたとしましょう。すると、1年後には2%増えて、次のようになります。

$$\mathrm{100,000}\cdot 1.02=\mathrm{102,000}$$

1年後には口座に102,000円あり、2,000円増えました。複利の公式から、次の式が成り立つはずです。

$$j_t=j_0\cdot (1+d{)}^t,$$

ここで、j₀ は最初に預けた金額、d は利率、t はその金額に利息がついた回数です。この式でわからないのは d です。わかっているのは年利だけで、求めたいのは月ごとの利率なのです。利息は全部で12回ついたので、t = 12 です。また、j_t が102,000に等しいこともわかっています。1年後に102,000円たまることは、年利からすでに計算しました。こうして、次の方程式が得られます。

$$\mathrm{102,000}=\mathrm{100,000}\cdot 1.02=\mathrm{100,000}\cdot (1+d{)}^{12}$$

(1 + d)¹² の値は1.02に等しくなければなりません。1.02の12乗根を計算すれば、1 + d の値が得られます。12乗根はおよそ1.0016515813です。毎月0.0016515813の利率で利息をつけていけば、全体として複利で0.02増え、最終的な金額は102,000円になります。