Capitalizarea lunară a dobânzii

În practică se întâmplă adesea ca băncile să indice o rată anuală a dobânzii, pe care însă o aplică lunar. Cum calculăm care este rata lunară a dobânzii?

Contul de economii de la Banca Earth

Banca Earth se laudă că are unul dintre cele mai bune conturi de economii, cu o dobândă anuală de 2%. Deși indică rata anuală a dobânzii, adaugă dobânda în fiecare lună, deci într-un an adaugă dobânda de 12 ori în total. Cât este rata lunară a dobânzii? Adică câți bani ni se adaugă în fiecare lună?

Formula o putem deduce din formula pentru dobânda compusă. Mai întâi însă calculăm câți bani vom avea în cont exact după un an. Să zicem că am depus în cont 20.000 de lei. Atunci după un an vom avea +2%, ceea ce înseamnă

$$20.000\cdot 1,02=20.400$$

După un an vom avea în cont 20.400, am câștigat patru sute. Din formula dobânzii compuse știm că trebuie să avem

$$C_t=C_0\cdot (1+d{)}^t,$$

unde C₀ este depozitul inițial, d este rata dobânzii, iar t arată de câte ori am capitalizat suma. În această formulă necunoscuta este tocmai litera d – noi cunoaștem doar rata anuală a dobânzii, dar o căutăm pe cea lunară. Am capitalizat de 12 ori în total, deci t = 12. Totodată știm că C_t este egal cu 20.400, după un an am economisit 20.400 de lei, asta am calculat deja din rata anuală a dobânzii. Obținem astfel ecuația:

$$20.400=20.000\cdot 1,02=20.000\cdot (1+d{)}^{12}$$

Vedem că valoarea (1 + d)¹² trebuie să fie egală cu 1,02. Dacă calculăm radicalul de ordin 12 din 1,02, obținem exact valoarea 1 + d. Radicalul de ordin 12 are valoarea aproximativă 1,0016515813. Dacă în fiecare lună capitalizăm suma cu rata 0,0016515813, obținem în total o dobândă compusă de 0,02, cu suma finală de 20.400 de lei.