Capitalisation mensuelle des intérêts

En pratique, il arrive souvent que les banques annoncent un taux d’intérêt annuel, mais l’appliquent mois par mois. Comment calculer le taux d’intérêt mensuel ?

Le livret d’épargne de la banque Earth

La banque Earth se vante d’avoir l’un des meilleurs livrets d’épargne, avec un intérêt annuel de 2 %. Même si elle annonce un taux annuel, elle verse les intérêts chaque mois, donc 12 fois par an. Quel est le taux d’intérêt mensuel ? Autrement dit, combien d’argent est versé sur notre compte chaque mois ?

On peut déduire la formule de celle des intérêts composés. Mais calculons d’abord combien nous aurons sur le compte au bout d’un an exactement. Admettons que nous ayons déposé 100 000 € sur le compte. Au bout d’un an, nous aurons +2 %, ce qui donne

$$100000\cdot 1,02=102000$$

Au bout d’un an, nous aurons 102 000 sur le compte, nous avons gagné deux mille. D’après la formule des intérêts composés, nous savons que l’égalité suivante doit être vraie :

$$C_n=C_0\cdot (1+t{)}^n,$$

où C₀ est le dépôt initial, t est le taux d’intérêt et n indique combien de fois nous avons fait produire des intérêts à la somme. Dans cette formule, l’inconnue est justement la lettre t : nous ne connaissons que le taux annuel, mais nous cherchons le taux mensuel. Nous avons calculé les intérêts 12 fois au total, donc n = 12. Et nous savons que C_n vaut 102 000 : au bout d’un an, nous avons épargné 102 000 €, nous l’avons déjà calculé à partir du taux annuel. Nous obtenons ainsi l’équation :

$$102000=100000\cdot 1,02=100000\cdot (1+t{)}^{12}$$

Nous voyons que la valeur (1 + t)¹² doit être égale à 1,02. Si nous calculons la racine douzième de 1,02, nous obtenons exactement la valeur de 1 + t. La racine douzième vaut environ 1,0016515813. Si chaque mois nous appliquons à la somme le taux 0,0016515813, nous obtenons au total des intérêts composés de 0,02, avec une somme finale de 102 000 €.