Évközi kamatozás

A gyakorlatban gyakran előfordul, hogy a bankok éves kamatlábat tüntetnek fel, de havonta alkalmazzák. Hogyan számítsd ki, mekkora a havi kamatláb?

Megtakarítási számla a Föld Banknál

A Föld Bank azzal büszkélkedik, hogy az egyik legjobb megtakarítási számlát kínálja évi 2%-os kamattal. Bár éves kamatlábat tüntet fel, a kamatot minden hónapban jóváírja, vagyis egy év alatt összesen 12-szer. Mekkora a havi kamatláb? Vagyis mennyi pénz íródik jóvá minden hónapban?

A képletet levezethetjük a kamatos kamat képletéből. Először azonban számoljuk ki, mennyi pénzünk lesz a számlán pontosan egy év után. Tegyük fel, hogy 1 500 000 forintot tettünk a számlára. Egy év múlva +2%-kal több pénzünk lesz, ami

$$1500000\cdot 1,02=1530000$$

Egy év múlva 1 530 000 forint lesz a számlán, vagyis harmincezer forintot kaptunk. A kamatos kamat képletéből tudjuk, hogy teljesülnie kell a következő összefüggésnek:

$$K_t=K_0\cdot (1+r{)}^t,$$

ahol K₀ a kezdeti betét, r a kamatláb, t pedig azt jelöli, hányszor számítottunk kamatot az összegre. Ebben a képletben éppen az r betű az ismeretlen – mi csak az éves kamatlábat ismerjük, de a havit keressük. Összesen 12-szer számítottunk kamatot, tehát t = 12. Közben tudjuk, hogy K_t egyenlő 1 530 000-rel, egy év alatt 1 530 000 forintot takarítottunk meg, ezt már kiszámoltuk az éves kamatlábból. Így a következő egyenletet kapjuk:

$$1530000=1500000\cdot 1,02=1500000\cdot (1+r{)}^{12}$$

Látjuk, hogy az (1 + r)¹² értékének egyenlőnek kell lennie 1,02-dal. Ha kiszámítjuk az 1,02 tizenkettedik gyökét, éppen az 1 + r értéket kapjuk. A tizenkettedik gyök közelítő értéke 1,0016515813. Ha minden hónapban 0,0016515813 kamatlábbal kamatoztatjuk az összeget, összesen 0,02 kamatos kamatot kapunk, és a végösszeg 1 530 000 forint.