Capitalização mensal

Na prática, é comum os bancos informarem uma taxa de juros anual, mas aplicarem os juros por mês. Como calcular qual é a taxa de juros mensal?

Conta poupança no Banco Terra

O Banco Terra se gaba de ter uma das melhores contas poupança, com juros anuais de 2% (uma taxa só para o exemplo). Embora informe a taxa de juros anual, ele credita os juros todo mês, ou seja, durante o ano credita os juros ao todo 12 vezes. Qual é a taxa de juros mensal? Isto é, quanto dinheiro é creditado para nós a cada mês?

Podemos deduzir a fórmula a partir da fórmula dos juros compostos. Mas primeiro vamos calcular quanto dinheiro teremos na conta exatamente depois de um ano. Digamos que tenhamos depositado R$ 100.000 na conta. Então, em um ano teremos +2%, o que dá

$$100.000\cdot 1,02=102.000$$

Em um ano teremos R$ 102.000 na conta, ganhamos dois mil. Pela fórmula dos juros compostos, sabemos que tem de valer

$$M=C\cdot (1+i{)}^t,$$

em que C é o depósito inicial, i é a taxa de juros e t indica quantas vezes capitalizamos o valor. Nessa fórmula, a incógnita é justamente a letra i — conhecemos apenas a taxa de juros anual, mas procuramos a mensal. Capitalizamos ao todo 12 vezes, então t = 12. Ao mesmo tempo, sabemos que M é igual a 102.000, depois de um ano economizamos 102.000 reais, o que já calculamos a partir da taxa de juros anual. Obtemos, assim, a equação:

$$102.000=100.000\cdot 1,02=100.000\cdot (1+i{)}^{12}$$

Vemos que o valor (1 + i)¹² tem de ser igual a 1,02. Se calcularmos a raiz décima segunda de 1,02, obtemos justamente o valor 1 + i. A raiz décima segunda tem valor aproximado de 1,0016515813. Se a cada mês capitalizarmos o valor com a taxa 0,0016515813, obteremos no total juros compostos de 0,02, com um montante final de R$ 102.000.