Последователно олихвяване

На практика често се случва банките да обявяват годишен лихвен процент, но да го прилагат по месеци. Как да пресметнем какъв е месечният лихвен процент?

Спестовна сметка в банка „Земя“

Банка „Земя“ се хвали, че има една от най-добрите спестовни сметки с годишна лихва 2%. Макар да обявява годишен лихвен процент, лихвата начислява всеки месец, т.е. за една година начислява лихва общо 12 пъти. Колко е месечният лихвен процент? Т.е. колко пари ще ни се начислят всеки месец?

Формулата можем да изведем от формулата за сложна лихва. Първо обаче ще пресметнем колко пари ще имаме по сметката точно след една година. Да кажем, че сме внесли по сметката 10 000 евро. Тогава след година ще имаме +2%, което прави

$$10000\cdot 1,02=10200$$

След година ще имаме по сметката 10 200, спечелили сме двеста евро. От формулата за сложна лихва знаем, че трябва да е изпълнено

$$K_n=K\cdot {(1+\frac{p}{100})}^n,$$

където K е началният влог, p е лихвеният процент (в проценти) и n означава колко пъти сме олихвили сумата. В тази формула неизвестното е именно p – ние знаем само годишния лихвен процент, а търсим месечния. Олихвили сме общо 12 пъти, така че n = 12. При това знаем, че K_n е равно на 10 200, след година сме спестили 10 200 евро, това вече го пресметнахме от годишния лихвен процент. Получаваме уравнението:

$$10200=10000\cdot 1,02=10000\cdot {(1+\frac{p}{100})}^{12}$$

Виждаме, че стойността ${(1+\frac{p}{100})}^{12}$ трябва да е равна на стойността 1,02. Ако пресметнем дванадесетия корен от стойността 1,02, получаваме именно стойността $1+\frac{p}{100}$. Дванадесетият корен е приблизително 1,0016515813. Ако всеки месец олихвяваме сумата с процент 0,16515813%, получаваме общо сложна лихва 2% с крайна сума 10 200 евро.