Capitalización mensual

En la práctica ocurre a menudo que los bancos indican un tipo de interés anual, pero lo aplican por meses. ¿Cómo calcular cuál es el tipo de interés mensual?

Cuenta de ahorro del Banco Tierra

El Banco Tierra presume de tener una de las mejores cuentas de ahorro, con un interés anual del 2 %. Aunque indica el tipo de interés anual, abona los intereses cada mes, es decir, al año abona el interés 12 veces en total. ¿Cuál es el tipo de interés mensual? Es decir, ¿cuánto dinero se nos abonará cada mes?

La fórmula podemos deducirla de la fórmula del interés compuesto. Pero primero calculemos cuánto dinero tendremos en la cuenta exactamente al cabo de un año. Digamos que hemos ingresado en la cuenta 4000 €. Entonces, al cabo de un año tendremos +2 %, lo que da

$$4000\cdot 1,02=4080$$

Al cabo de un año tendremos en la cuenta 4080 €; hemos ganado ochenta euros. De la fórmula del interés compuesto sabemos que debe cumplirse

$$C_t=C_0\cdot (1+i{)}^t,$$

donde C₀ es el depósito inicial, i es el tipo de interés y t indica cuántas veces hemos capitalizado la cantidad. En esta fórmula la incógnita es precisamente la letra i —nosotros solo conocemos el tipo de interés anual, pero buscamos el mensual—. Hemos capitalizado 12 veces en total, así que t = 12. Además sabemos que C_t es igual a 4080: al cabo de un año hemos ahorrado 4080 euros, eso ya lo hemos calculado a partir del tipo de interés anual. Obtenemos así la ecuación:

$$4080=4000\cdot 1,02=4000\cdot (1+i{)}^{12}$$

Vemos que el valor (1 + i)¹² debe ser igual al valor 1,02. Si calculamos la raíz duodécima de 1,02, obtenemos precisamente el valor 1 + i. La raíz duodécima vale aproximadamente 1,0016515813. Si cada mes capitalizamos la cantidad con el tipo 0,0016515813, obtendremos en total un interés compuesto de 0,02, con una cantidad final de 4080 euros.