Månedlig rentetilskrivning

I praksis sker det ofte, at banker angiver en årlig rentefod, som de dog anvender måned for måned. Hvordan beregner du, hvad den månedlige rentefod er?

Opsparingskonto i Earth Bank

Earth Bank praler af at have en af de bedste opsparingskonti med en årlig rente på 2 %. Selv om banken angiver en årlig rentefod, tilskriver den renten hver måned, altså i alt 12 gange om året. Hvor høj er den månedlige rentefod? Altså hvor mange penge bliver der tilskrevet os hver måned?

Formlen kan vi udlede af formlen for rentes rente. Men først beregner vi, hvor mange penge vi har på kontoen efter netop ét år. Lad os sige, at vi har indsat 100.000 kr. på kontoen. Så har vi efter et år +2 %, hvilket giver

$$100.000\cdot 1,02=102.000$$

Efter et år har vi 102.000 kr. på kontoen, vi har fået to tusind. Af formlen for rentes rente ved vi, at der må gælde

$$K_n=K_0\cdot (1+r{)}^n,$$

hvor K₀ er startkapitalen, r er rentefoden, og n angiver, hvor mange gange vi har forrentet beløbet. I denne formel er det netop bogstavet r, der er ubekendt — vi kender kun den årlige rentefod, men vi søger den månedlige. Vi har forrentet i alt 12 gange, så n = 12. Samtidig ved vi, at K_n er lig med 102.000, efter et år har vi sparet 102.000 kroner op, det har vi allerede beregnet ud fra den årlige rentefod. Vi får således ligningen:

$$102.000=100.000\cdot 1,02=100.000\cdot (1+r{)}^{12}$$

Vi ser, at værdien (1 + r)¹² må være lig med værdien 1,02. Hvis vi beregner den tolvte rod af værdien 1,02, får vi netop værdien 1 + r. Den tolvte rod har den omtrentlige værdi 1,0016515813. Hvis vi hver måned forrenter beløbet med rentefoden 0,0016515813, får vi i alt rentes rente på 0,02 med en slutværdi på 102.000 kroner.