Capitalizzazione frazionata mensile

Nella pratica capita spesso che le banche indichino un tasso di interesse annuo, ma lo applichino mese per mese. Come si calcola il tasso di interesse mensile?

Il conto di risparmio della Banca Terra

La Banca Terra si vanta di avere uno dei migliori conti di risparmio, con un interesse annuo del 2%. Anche se indica il tasso annuo, accredita gli interessi ogni mese, cioè nell’arco dell’anno li accredita 12 volte in tutto. Quanto è alto il tasso di interesse mensile? Ossia, quanti soldi ci verranno accreditati ogni mese?

La formula possiamo dedurla da quella dell’interesse composto. Prima però calcoliamo quanti soldi avremo sul conto esattamente dopo un anno. Diciamo che abbiamo versato sul conto 4000 €. Allora dopo un anno avremo +2%, cioè

$$4000\cdot 1,02=4080$$

Dopo un anno avremo sul conto 4080 €: abbiamo guadagnato ottanta euro. Dalla formula dell’interesse composto sappiamo che deve valere

$$C_t=C_0\cdot (1+i{)}^t,$$

dove C₀ è il deposito iniziale, i è il tasso di interesse e t indica quante volte abbiamo capitalizzato la somma. In questa formula l’incognita è proprio la lettera i: noi conosciamo solo il tasso annuo, ma cerchiamo quello mensile. Abbiamo capitalizzato 12 volte in tutto, quindi t = 12. Sappiamo inoltre che C_t è uguale a 4080: dopo un anno abbiamo risparmiato 4080 euro, e questo lo abbiamo già calcolato dal tasso annuo. Otteniamo così l’equazione:

$$4080=4000\cdot 1,02=4000\cdot (1+i{)}^{12}$$

Vediamo che il valore (1 + i)¹² deve essere uguale a 1,02. Se calcoliamo la radice dodicesima di 1,02, otteniamo proprio il valore 1 + i. La radice dodicesima vale approssimativamente 1,0016515813. Se ogni mese capitalizziamo la somma al tasso 0,0016515813, otterremo in totale un interesse composto di 0,02, con una somma finale di 4080 euro.