Unterjährige Verzinsung

In der Praxis kommt es oft vor, dass Banken einen jährlichen Zinssatz angeben, ihn aber monatlich anwenden. Wie berechnet man, wie hoch der monatliche Zinssatz ist?

Sparkonto bei der Earth Bank

Die Earth Bank rühmt sich damit, eines der besten Sparkonten mit einem jährlichen Zinssatz von 2 % zu haben. Obwohl sie den jährlichen Zinssatz angibt, schreibt sie die Zinsen jeden Monat gut, also im Jahr insgesamt 12-mal. Wie hoch ist der monatliche Zinssatz? Also wie viel Geld wird uns jeden Monat gutgeschrieben?

Die Formel können wir aus der Formel für den Zinseszins herleiten. Zuerst berechnen wir aber, wie viel Geld wir genau nach einem Jahr auf dem Konto haben werden. Sagen wir, wir haben 4.000 € auf das Konto eingezahlt. Dann haben wir nach einem Jahr +2 %, das macht

$$4.000\cdot 1,02=4.080$$

Nach einem Jahr haben wir auf dem Konto 4.080 €, wir haben 80 € dazugewonnen. Aus der Formel für den Zinseszins wissen wir, dass gelten muss

$$K_t=K_0\cdot (1+d{)}^t,$$

wobei K₀ die Anfangseinlage ist, d der Zinssatz und t angibt, wie oft wir den Betrag verzinst haben. In dieser Formel ist der Buchstabe d die Unbekannte – wir kennen nur den jährlichen Zinssatz, suchen aber den monatlichen. Wir haben insgesamt 12-mal verzinst, also ist t = 12. Dabei wissen wir, dass K_t gleich 4.080 ist, nach einem Jahr haben wir 4.080 € gespart, das haben wir schon aus dem jährlichen Zinssatz berechnet. So erhalten wir die Gleichung:

$$4.080=4.000\cdot 1,02=4.000\cdot (1+d{)}^{12}$$

Wir sehen, dass der Wert (1 + d)¹² gleich dem Wert 1,02 sein muss. Berechnen wir die zwölfte Wurzel aus dem Wert 1,02, erhalten wir genau den Wert 1 + d. Die zwölfte Wurzel hat ungefähr den Wert 1,0016515813. Wenn wir den Betrag jeden Monat mit dem Zinssatz 0,0016515813 verzinsen, erhalten wir insgesamt den Zinseszins 0,02 mit dem Endbetrag 4.080 €.