Многочлени

Многочленът е израз, който съдържа променливата x и стандартните действия събиране, умножение и степенуване с неотрицателен целочислен степенен показател. Тези многочлени можем да събираме, изваждаме, умножаваме, делим и степенуваме. Многочлените наричаме още полиноми.

Основни понятия

Пример за прост многочлен е многочленът:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

В общия случай можем да запишем многочлена така

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

където реалните числа пред x, т.е. a_n, се наричат коефициенти, а n се нарича степен на многочлена. Числото n съответства на най-високата степен на многочлена, при която a_n ≠ 0. Ако a_n беше равно на нула, по същество бихме премахнали променливата x, към която принадлежи коефициентът, тъй като нула по каквото и да е е нула:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Значи при първия многочлен степента на многочлена е две, защото най-високата ненулева степен на променливата x е две. При друг многочлен

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

степента на многочлена е 4 (най-високият степенен показател е 4). Обикновено записваме полиномите в низходящ ред по използваните степенни показатели, за да имаме на първо място члена с най-високата степен. Така предишният многочлен можем да препишем по следния начин:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Виждаме, че в многочлена липсват членове, чиято променлива има показател три и нула. Това изобщо не пречи, просто си представяме, че коефициентът пред тези членове е нулев. Можем да запишем

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Макар вече да имаме всички членове, полиномът е излишно претрупан. Затова нулевите членове обикновено ги пропускаме.

Събиране и изваждане на многочлени

Събирането и изваждането на многочлени е доста проста работа. Винаги просто събираме или изваждаме коефициентите пред членове с еднакъв степенен показател. Следователно е в сила

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Прост пример:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Ако искаме да съберем по-дълги многочлени, винаги трябва да групираме членовете с еднакъв степенен показател на променливата.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Ако член с даден степенен показател не се среща в полинома, остава непроменен (представи си, че във втория полином има такъв член, но с нулев коефициент).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Изваждането на полиноми работи като събирането, само че втория полином го умножаваме с минус едно, т.е. сменяме всички знаци. Следва пример:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

А това вече е обикновено събиране на многочлени, така че можем да го съберем както винаги:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Напомням, че ако в многочлена има отрицателен член, след това преобразуване той става положителен.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Умножение на полиноми

При умножението на многочлени умножаваме всеки член на първия многочлен с всеки член на втория многочлен. Коефициентите умножаваме както обикновени реални числа. Степенните показатели при променливите, напротив, само събираме по правилата за пресмятане със степени. Следва пример:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

В този пример единият множител беше едночлен, така че не показа нагледно умножаването на всеки член с всеки. Следва малко по-обширен пример:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Ако в многочлена има знак минус, той се отчита при умножението както обикновено.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Преобразуване на многочлени

При преобразуването на многочлен обикновено искаме да го направим по-прост. За целта използваме неща като разширяване, съкращаване, изнасяне пред скоби, прилагане на формули и подобни. Добре е да знаеш тези формули. Тук ще използваме някои от тях и ще ги споменавам постепенно. Често използвана е формулата

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Ако те интересува как е получена тази формула, достатъчно е да разкриеш скобите.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Ще започнем с някакъв прост пример.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

И двете леви скоби разкрихме по формулата, която посочих по-горе. Напомням, че втората скоба разкрихме като

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Друга класическа формула е

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Следва вторият пример, този път с дроб. И в числителя, и в знаменателя има полиноми и ще се опитаме да ги преобразуваме така, че цялата дроб да може да се съкрати елегантно. В първата стъпка в числителя прилагаме първата формула, но в обратната посока. В знаменателя прилагаме втората формула. Накрая само съкращаваме (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

В третия пример ще опитаме да приложим изнасяне пред скоби. В числителя първо изнасяме 3a³ и след това разлагаме скобата (4a² − 1) по формулата a² − b², като използваме, че

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

В знаменателя след това първо просто умножаваме първите два члена, също изнасяме 3a³ и накрая всичко съкращаваме.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Глави: Многочлени, Деление на многочлен на многочлен, Корен на многочлен (полином), Разлагане на многочлени на множители

« Предишна: Защо не може да се дели на нула

Следваща: Деление на многочлен на многочлен »