Polynomer

Et polynom er et uttrykk som inneholder variabelen x og de vanlige operasjonene addisjon, multiplikasjon og potensering med en ikke-negativ heltallig eksponent. Polynomer kan vi også legge sammen, trekke fra hverandre, multiplisere, dividere og opphøye.

Grunnleggende sammenhenger

Et eksempel på et enkelt polynom er polynomet:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Generelt kan vi skrive et polynom slik

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

der de reelle tallene foran x, altså a_n, kalles koeffisienter og n kalles graden til polynomet. Tallet n tilsvarer den høyeste potensen i polynomet, der a_n ≠ 0. Hvis a_n var lik null, ville vi i praksis fjernet variabelen x som koeffisienten hører til, fordi null ganger hva som helst er null:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

For det første polynomet vi nevnte, er altså graden to, fordi den høyeste potensen av variabelen x med koeffisient forskjellig fra null er to. For et annet polynom

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

er graden 4 (den høyeste eksponenten er 4). Vanligvis skriver vi polynomer med synkende eksponenter, slik at leddet med den høyeste potensen står først. Det forrige polynomet kan vi altså skrive om slik:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vi ser at polynomet mangler leddene der variabelen har eksponent tre og null. Det gjør ingenting, vi tenker oss bare at koeffisienten foran disse leddene er null. Vi kan nemlig skrive

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Nå har vi riktignok alle leddene med, men polynomet blir unødvendig uoversiktlig. Ledd med koeffisient null utelater vi derfor vanligvis.

Addisjon og subtraksjon av polynomer

Addisjon og subtraksjon av polynomer er ganske enkelt. Vi legger bare sammen eller trekker fra koeffisientene foran leddene med samme eksponent. Altså gjelder

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Et enkelt eksempel:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Hvis vi skal legge sammen lengre polynomer, må vi alltid velge ut leddene med samme eksponent på variabelen.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Hvis et ledd med en gitt eksponent ikke forekommer i polynomet, forblir det uendret (tenk deg at det andre polynomet har et slikt ledd, men med koeffisient null).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Subtraksjon av polynomer fungerer likt som addisjon, bortsett fra at vi multipliserer det andre polynomet med minus én, altså bytter fortegn på alle leddene. Her er et eksempel:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Og dette er vanlig addisjon av polynomer, så vi kan legge sammen som alltid:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Husk at hvis polynomet har et negativt ledd, blir det positivt etter denne omformingen.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Multiplikasjon av polynomer

Når vi multipliserer polynomer, multipliserer vi hvert ledd i det første polynomet med hvert ledd i det andre. Koeffisientene multipliserer vi vanlig, som alle andre reelle tall. Eksponentene på variablene legger vi derimot bare sammen, etter regnereglene for potenser. Her er et eksempel:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Dette eksempelet brukte et polynom med bare ett ledd, så det viste ikke tydelig multiplikasjon på tvers av alle leddene. Her er et litt større eksempel:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Hvis polynomet har et minustegn, får det vanlig virkning i multiplikasjonen.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Omforming av polynomer

Når vi omformer polynomer, vil vi vanligvis gjøre polynomet enklere. Til det bruker vi ting som utviding, forkorting, det å sette utenfor parentes, bruk av formler og lignende. Det er lurt å kunne disse formlene. Vi bruker noen av dem her, og dem tar jeg opp etter hvert. En klassisk formel som brukes, er formelen

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Hvis du lurer på hvordan denne formelen oppstod, er det bare å gange ut.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Vi begynner med et enkelt eksempel.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Begge parentesene til venstre har vi ganget ut etter formelen jeg viste ovenfor. Husk at den andre parentesen ble ganget ut slik:

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

En annen klassisk formel er

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Nå kommer et annet eksempel, denne gangen med en brøk. Både i telleren og i nevneren står det polynomer, og vi prøver å omforme dem slik at hele brøken kan forkortes pent. I det første trinnet bruker vi den første formelen i telleren, bare baklengs. I nevneren bruker vi den andre formelen. Til slutt forkorter vi bare (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

I det tredje eksempelet prøver vi å bruke det å sette utenfor parentes. I telleren setter vi først 3a³ utenfor parentes, og deretter faktoriserer vi parentesen (4a² − 1) etter formelen a² − b², der vi utnytter at

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

I nevneren multipliserer vi først de to første leddene, setter også 3a³ utenfor parentes og forkorter til slutt alt.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Kapitler: Polynomer, Polynomdivisjon, Nullpunkt til et polynom, Faktorisering av polynomer

« Forrige: Hvorfor kan vi ikke dele på null

Neste: Polynomdivisjon »