Polinoame

Polinomul este o expresie care conține variabila x și operațiile obișnuite de adunare, înmulțire și ridicare la o putere cu exponent număr natural. Aceste polinoame le putem apoi aduna, scădea, înmulți, împărți și ridica la putere.

Relații de bază

Un exemplu de polinom simplu este polinomul:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

În general, un polinom l-am putea scrie astfel

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

unde numerele reale din fața lui x, adică a_n, se numesc coeficienți, iar n se numește gradul polinomului. Numărul n corespunde celei mai mari puteri din polinom, pentru care a_n ≠ 0. Dacă a_n ar fi egal cu zero, am elimina de fapt variabila x căreia îi aparține coeficientul, deoarece zero înmulțit cu orice este zero:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Așadar, în cazul primului polinom menționat, gradul polinomului este doi, deoarece cea mai mare putere nenulă a variabilei x este doi. În cazul altui polinom

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

gradul polinomului ar fi 4 (cel mai mare exponent este 4). De obicei scriem polinoamele în ordinea descrescătoare a exponenților, ca să avem pe primul loc termenul cu cea mai mare putere. Astfel, polinomul anterior îl putem rescrie așa:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vedem că în polinom lipsesc termenii a căror variabilă ar avea exponentul trei și zero. Nu deranjează deloc, ne imaginăm pur și simplu că coeficientul acestor termeni este nul. Putem scrie, de fapt,

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Acum avem toți termenii, dar polinomul este inutil de greu de citit. De aceea termenii nuli se omit de obicei.

Adunarea și scăderea polinoamelor

Adunarea și scăderea polinoamelor sunt destul de simple. Adunăm sau scădem întotdeauna doar coeficienții termenilor cu același exponent. Deci are loc

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Un exemplu simplu:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Dacă vrem să adunăm polinoame mai lungi, trebuie să alegem întotdeauna termenii cu același exponent al variabilei.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Dacă un termen cu un anumit exponent nu apare într-un polinom, el rămâne neschimbat (imaginează-ți că în al doilea polinom există un astfel de termen, dar cu coeficient nul).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Scăderea polinoamelor funcționează la fel ca adunarea, doar că al doilea polinom îl înmulțim cu minus unu, adică schimbăm toate semnele. Urmează un exemplu:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Iar aceasta este deja o adunare obișnuită de polinoame, deci o putem efectua ca întotdeauna:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Îți reamintesc că, dacă într-un polinom există un termen negativ, după această transformare el devine pozitiv.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Înmulțirea polinoamelor

La înmulțirea polinoamelor înmulțim fiecare termen al primului polinom cu fiecare termen al celui de-al doilea. Coeficienții îi înmulțim normal, ca pe niște numere reale obișnuite. Exponenții variabilelor, în schimb, doar îi adunăm, conform regulilor de calcul cu puteri. Iată un exemplu:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

În acest exemplu, unul dintre factori avea încă un singur termen, deci nu s-a văzut clar înmulțirea între toți termenii polinomului. Urmează un exemplu ceva mai amplu:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Dacă într-un polinom apare semnul minus, el se manifestă normal în înmulțire.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Transformarea polinoamelor

La transformarea polinoamelor vrem, de regulă, să aducem polinomul la o formă mai simplă. Pentru asta folosim lucruri precum amplificarea, simplificarea, scoaterea factorului comun, aplicarea formulelor și altele asemenea. Ar fi bine să cunoști aceste formule. Aici vom folosi unele dintre ele, pe care le voi menționa pe parcurs. O formulă clasică, des folosită, este

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Dacă te interesează cum a apărut această formulă, e de ajuns să desfaci parantezele.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Să începem cu un exemplu simplu.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Am desfăcut ambele paranteze din stânga după formula pe care am dat-o mai sus. Îți reamintesc că a doua paranteză a fost descompusă astfel

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

O altă formulă clasică este

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Urmează al doilea exemplu, de data aceasta cu o fracție. La numărător și la numitor se află polinoame, iar noi vom încerca să le transformăm astfel încât întreaga fracție să se poată simplifica frumos. În primul pas aplicăm la numărător prima formulă, dar în sens invers. La numitor aplicăm a doua formulă. La final doar simplificăm cu (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

În al treilea exemplu vom încerca să aplicăm scoaterea factorului comun. La numărător scoatem mai întâi factorul 3a³, apoi descompunem paranteza (4a² − 1) după formula a² − b², folosind faptul că

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

La numitor înmulțim mai întâi pur și simplu primii doi termeni, scoatem și aici factorul 3a³ și în cele din urmă simplificăm totul.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Capitole: Polinoame, Împărțirea polinoamelor, Rădăcina unui polinom, Descompunerea în factori

« Anterior: De ce nu putem împărți la zero

Următor: Împărțirea polinoamelor »