Polinomi

Un polinomio è un’espressione che contiene la variabile x e le operazioni standard di addizione, moltiplicazione ed elevamento a potenza con esponente intero non negativo. I polinomi, a loro volta, si possono sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere ed elevare a potenza.

Relazioni fondamentali

Un esempio di polinomio semplice può essere il polinomio:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

In generale potremmo scrivere un polinomio così

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

dove i numeri reali davanti a x, cioè a_n, si chiamano coefficienti e n si chiama grado del polinomio. Il numero n corrisponde alla potenza più alta del polinomio con a_n ≠ 0. Se a_n fosse uguale a zero, in sostanza elimineremmo la variabile x a cui il coefficiente appartiene, dato che zero per qualsiasi cosa fa zero:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Nel caso del primo polinomio citato, quindi, il grado del polinomio è due, perché la potenza non nulla più alta della variabile x è due. Nel caso di un altro polinomio

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

il grado del polinomio sarebbe 4 (l’esponente più alto è 4). Di solito scriviamo i polinomi in ordine decrescente rispetto agli esponenti usati, in modo da avere al primo posto il termine con la potenza più alta. Il polinomio precedente possiamo quindi riscriverlo così:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vediamo che nel polinomio mancano i termini la cui variabile avrebbe esponente tre e zero. Non è un problema: immaginiamo semplicemente che il coefficiente di questi termini sia nullo. Possiamo infatti scrivere

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Ora ci sono tutti i termini, ma il polinomio è inutilmente poco chiaro. I termini nulli, di solito, si omettono.

Addizione e sottrazione di polinomi

L’addizione e la sottrazione di polinomi sono piuttosto semplici. Sommiamo o sottraiamo sempre soltanto i coefficienti dei termini con lo stesso esponente. Vale quindi

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Un esempio semplice:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Se vogliamo sommare polinomi più lunghi, dobbiamo sempre raggruppare i termini con lo stesso esponente della variabile.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Se un termine con un dato esponente non compare nel polinomio, resta invariato (immagina che nel secondo polinomio ci sia un termine del genere, ma con coefficiente nullo).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

La sottrazione di polinomi funziona come l’addizione, solo che il secondo polinomio lo moltiplichiamo per meno uno, cioè cambiamo tutti i segni. Segue un esempio:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

E questa è ormai la classica addizione di polinomi, quindi si può calcolare come sempre:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Ricorda che, se nel polinomio c’è un termine negativo, dopo questa trasformazione diventa positivo.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Moltiplicazione di polinomi

Nella moltiplicazione di polinomi moltiplichiamo ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo. I coefficienti si moltiplicano normalmente, come i classici numeri reali. Gli esponenti delle variabili, invece, si sommano soltanto, secondo le regole di calcolo con le potenze. Ecco quindi un esempio:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

In questo esempio uno dei fattori aveva un solo termine (era un monomio), quindi non ha mostrato chiaramente la moltiplicazione tra tutti i termini del polinomio. Segue un esempio un po’ più ampio:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Se nel polinomio compare il segno meno, se ne tiene conto normalmente nella moltiplicazione.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Semplificazione di polinomi

Nella semplificazione di polinomi di solito vogliamo trasformare il polinomio in modo che diventi più semplice. A tal fine usiamo strumenti come la moltiplicazione di numeratore e denominatore per lo stesso fattore, la semplificazione, il raccoglimento a fattor comune, l’applicazione di formule e simili. Sarebbe bene conoscere queste formule. Qui ne useremo alcune, che citerò man mano. Una delle formule più usate è il quadrato di binomio

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Se ti interessa sapere come nasce questa formula, basta sviluppare il prodotto.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Cominciamo con un esempio semplice.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Entrambe le parentesi a sinistra le abbiamo sviluppate con la formula che ho scritto sopra. Ricorda che la seconda parentesi l’abbiamo sviluppata come

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Un’altra formula classica è la differenza di quadrati:

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Segue un secondo esempio, stavolta con una frazione. Sia al numeratore sia al denominatore ci sono dei polinomi e cercheremo di trasformarli in modo che l’intera frazione si possa semplificare facilmente. Nel primo passaggio, al numeratore, applichiamo la prima formula, ma al contrario. Al denominatore applichiamo la seconda formula. Alla fine semplifichiamo soltanto (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Nel terzo esempio proviamo ad applicare il raccoglimento a fattor comune. Al numeratore raccogliamo prima 3a³ e poi scomponiamo la parentesi (4a² − 1) con la formula a² − b², sfruttando il fatto che

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Al denominatore moltiplichiamo prima semplicemente i primi due termini, raccogliamo anche lì 3a³ e alla fine semplifichiamo tutto.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

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