Πολυώνυμα

Πολυώνυμο είναι μια παράσταση που περιέχει τη μεταβλητή x και τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της ύψωσης σε δύναμη με μη αρνητικό ακέραιο εκθέτη. Αυτά τα πολυώνυμα μπορούμε επίσης να τα προσθέτουμε, να τα αφαιρούμε, να τα πολλαπλασιάζουμε, να τα διαιρούμε και να τα υψώνουμε σε δύναμη.

Βασικές σχέσεις

Παράδειγμα ενός απλού πολυωνύμου μπορεί να είναι το πολυώνυμο:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Γενικά θα μπορούσαμε να γράψουμε ένα πολυώνυμο έτσι

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

όπου οι πραγματικοί αριθμοί μπροστά από το x, δηλαδή a_n, λέγονται συντελεστές και το n λέγεται βαθμός του πολυωνύμου. Ο αριθμός n αντιστοιχεί στη μεγαλύτερη δύναμη του πολυωνύμου, όπου a_n ≠ 0. Αν το a_n ήταν ίσο με μηδέν, τότε ουσιαστικά θα καταργούσαμε τη μεταβλητή x στην οποία ανήκει ο συντελεστής, επειδή μηδέν επί οτιδήποτε είναι μηδέν:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Στην περίπτωση του πρώτου πολυωνύμου που αναφέραμε ισχύει λοιπόν ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι δύο, επειδή η μεγαλύτερη μη μηδενική δύναμη της μεταβλητής x είναι δύο. Στην περίπτωση ενός άλλου πολυωνύμου

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

θα ίσχυε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι 4 (ο μεγαλύτερος εκθέτης είναι 4). Συνήθως γράφουμε τα πολυώνυμα κατά φθίνουσες δυνάμεις, ώστε στην πρώτη θέση να έχουμε τον όρο με τη μεγαλύτερη δύναμη. Έτσι το προηγούμενο πολυώνυμο μπορούμε να το ξαναγράψουμε ως εξής:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Βλέπουμε ότι στο πολυώνυμο λείπουν οι όροι των οποίων η μεταβλητή θα είχε εκθέτη τρία και μηδέν. Αυτό δεν πειράζει καθόλου, απλώς φανταζόμαστε ότι ο συντελεστής αυτών των όρων είναι μηδέν. Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Μπορεί να έχουμε πια όλους τους όρους, αλλά το πολυώνυμο είναι άσκοπα δυσανάγνωστο. Τους μηδενικούς όρους συνήθως τους παραλείπουμε.

Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων

Η πρόσθεση και η αφαίρεση πολυωνύμων είναι αρκετά απλή υπόθεση. Πάντα απλώς προσθέτουμε ή αφαιρούμε τους συντελεστές των όρων με τον ίδιο εκθέτη. Δηλαδή ισχύει

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Απλό παράδειγμα:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Αν θέλουμε να προσθέσουμε μεγαλύτερα πολυώνυμα, πρέπει πάντα να επιλέγουμε όρους με τον ίδιο εκθέτη στη μεταβλητή.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Αν ένας όρος με δεδομένο εκθέτη δεν εμφανίζεται στο πολυώνυμο, μένει αμετάβλητος (φαντάσου ότι στο δεύτερο πολυώνυμο υπάρχει τέτοιος όρος, αλλά με μηδενικό συντελεστή).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Η αφαίρεση πολυωνύμων λειτουργεί όπως η πρόσθεση, μόνο που το δεύτερο πολυώνυμο το πολλαπλασιάζουμε με μείον ένα, δηλαδή αλλάζουμε όλα τα πρόσημα. Ακολουθεί παράδειγμα:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Και αυτή είναι πια η κλασική πρόσθεση πολυωνύμων, οπότε μπορεί να υπολογιστεί όπως πάντα:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Θυμίζω ότι αν στο πολυώνυμο υπάρχει αρνητικός όρος, μετά από αυτόν τον μετασχηματισμό γίνεται θετικός.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

Κατά τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του πρώτου πολυωνύμου με κάθε όρο του δεύτερου πολυωνύμου. Τους συντελεστές τους πολλαπλασιάζουμε κανονικά, όπως τους συνηθισμένους πραγματικούς αριθμούς. Τους εκθέτες των μεταβλητών αντίθετα απλώς τους προσθέτουμε σύμφωνα με τους κανόνες των πράξεων με δυνάμεις. Ακολουθεί λοιπόν ένα παράδειγμα:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Αυτό το παράδειγμα δούλευε ακόμη με μονώνυμο, οπότε δεν έδειξε παραστατικά τον πολλαπλασιασμό όλων των όρων του πολυωνύμου. Ακολουθεί ένα λίγο εκτενέστερο παράδειγμα:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Αν σε ένα πολυώνυμο εμφανίζεται το πρόσημο μείον, τότε φαίνεται κανονικά στον πολλαπλασιασμό.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Μετασχηματισμός πολυωνύμων

Κατά τον μετασχηματισμό πολυωνύμων συνήθως θέλουμε να μετατρέψουμε το πολυώνυμο ώστε να γίνει απλούστερο. Για αυτό χρησιμοποιούμε πράγματα όπως μετατροπή σε ισοδύναμο κλάσμα, απλοποίηση, κοινό παράγοντα, εφαρμογή ταυτοτήτων και παρόμοια. Αυτούς τους τύπους θα ήταν καλό να τους ξέρεις. Κατάλογο χρήσιμων τύπων μπορείς να βρεις αλλού. Εμείς εδώ θα χρησιμοποιήσουμε μερικούς από αυτούς, που θα αναφέρω με τον καιρό. Κλασική ταυτότητα που χρησιμοποιείται είναι η

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Αν σε ενδιαφέρει πώς προέκυψε αυτός ο τύπος, αρκεί να κάνεις τις πράξεις.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό παράδειγμα.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Και τις δύο αριστερές παρενθέσεις τις αναπτύξαμε σύμφωνα με τον τύπο που ανέφερα πάνω. Θυμίζω ότι τη δεύτερη παρένθεση την αναπτύξαμε ως

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Μια άλλη κλασική ταυτότητα είναι η

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Ακολουθεί το δεύτερο παράδειγμα, αυτήν τη φορά με κλάσμα. Στον αριθμητή και στον παρονομαστή βρίσκονται πολυώνυμα και θα προσπαθήσουμε να τα μετασχηματίσουμε ώστε ολόκληρο το κλάσμα να απλοποιηθεί κάπως όμορφα. Στο πρώτο βήμα στον αριθμητή εφαρμόζουμε την πρώτη ταυτότητα, μόνο αντίστροφα. Στον παρονομαστή εφαρμόζουμε τη δεύτερη ταυτότητα. Στο τέλος απλώς απλοποιούμε το (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Στο τρίτο παράδειγμα θα δοκιμάσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα. Στον αριθμητή βγάζουμε πρώτα κοινό παράγοντα το 3a³ και στη συνέχεια παραγοντοποιούμε την παρένθεση (4a² − 1) σύμφωνα με τον τύπο a² − b², όπου εκμεταλλευόμαστε ότι

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Στον παρονομαστή πρώτα απλώς πολλαπλασιάζουμε τους δύο πρώτους όρους, βγάζουμε επίσης κοινό παράγοντα το 3a³ και στο τέλος απλοποιούμε τα πάντα.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Κεφάλαια: Πολυώνυμα, Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο, Ρίζα πολυωνύμου, Παραγοντοποίηση πολυωνύμων

« Προηγούμενο: Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν

Επόμενο: Διαίρεση πολυωνύμου με πολυώνυμο »