Polynome

Ein Polynom ist ein Term, der die Variable x und die Standardoperationen Addition, Multiplikation und Potenzieren mit nichtnegativem ganzzahligem Exponenten enthält. Diese Polynome können wir dann auch addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und potenzieren.

Grundlegende Zusammenhänge

Ein Beispiel für ein einfaches Polynom ist das Polynom:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

Allgemein könnten wir ein Polynom so schreiben

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

wobei die reellen Zahlen vor x, d. h. a_n, Koeffizienten heißen und n der Grad des Polynoms heißt. Die Zahl n entspricht der höchsten Potenz des Polynoms, bei der a_n ≠ 0 gilt. Wäre a_n gleich null, würden wir im Grunde die Variable x, zu der der Koeffizient gehört, aufheben, denn null mal irgendetwas ist null:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Für das zuerst genannte Polynom gilt also, dass der Grad des Polynoms zwei ist, weil die höchste von null verschiedene Potenz der Variable x zwei ist. Bei einem anderen Polynom

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

wäre der Grad des Polynoms 4 (der höchste Exponent ist 4). Üblicherweise schreiben wir Polynome absteigend nach den verwendeten Exponenten, damit an erster Stelle das Glied mit der höchsten Potenz steht. Das vorige Polynom können wir also so umschreiben:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Wir sehen, dass im Polynom das Glied fehlt, dessen Variable den Exponenten drei bzw. null hätte. Das macht überhaupt nichts, wir stellen uns einfach vor, dass der Koeffizient bei diesen Gliedern null ist. Wir können nämlich schreiben

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Jetzt haben wir zwar alle Glieder, aber das Polynom ist unnötig unübersichtlich. Die Glieder mit dem Koeffizienten null lässt man deshalb üblicherweise weg.

Addition und Subtraktion von Polynomen

Die Addition und Subtraktion von Polynomen ist ziemlich einfach. Wir addieren oder subtrahieren immer nur die Koeffizienten bei Gliedern mit demselben Exponenten. Es gilt also

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Ein einfaches Beispiel:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Wenn wir längere Polynome addieren wollen, müssen wir immer die Glieder mit demselben Exponenten der Variable zusammenfassen.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Kommt ein Glied mit dem jeweiligen Exponenten in einem Polynom nicht vor, bleibt es unverändert (stell dir vor, dass im zweiten Polynom ein solches Glied mit dem Koeffizienten null steht).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

Die Subtraktion von Polynomen funktioniert genauso wie die Addition, nur multiplizieren wir das zweite Polynom mit minus eins, d. h. wir vertauschen alle Vorzeichen. Ein Beispiel folgt:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Und das ist schon die klassische Addition von Polynomen, wir können also wie immer addieren:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Ich erinnere daran, dass ein negatives Glied im Polynom nach dieser Umformung positiv wird.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Multiplikation von Polynomen

Beim Multiplizieren von Polynomen multiplizieren wir jedes Glied des ersten Polynoms mit jedem Glied des zweiten Polynoms. Die Koeffizienten multiplizieren wir ganz normal wie gewöhnliche reelle Zahlen. Die Exponenten der Variablen dagegen addieren wir nur, nach den Regeln für das Rechnen mit Potenzen. Hier ein Beispiel:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Dieses Beispiel arbeitete noch mit einem Polynom aus einem Glied, zeigte also nicht anschaulich die Multiplikation über alle Glieder des Polynoms hinweg. Ein etwas umfangreicheres Beispiel folgt:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Taucht im Polynom ein Minuszeichen auf, wirkt es sich beim Multiplizieren ganz normal aus.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Umformung von Polynomen

Bei der Umformung von Polynomen wollen wir das Polynom in der Regel so umformen, dass es einfacher wird. Dazu verwenden wir Dinge wie Erweitern, Kürzen, Ausklammern, die Anwendung von Formeln und Ähnliches. Diese Formeln solltest du kennen. Eine Liste nützlicher Formeln findest du in jeder Formelsammlung. Wir werden hier einige davon verwenden, die ich nach und nach erwähne. Eine häufig verwendete Formel ist die erste binomische Formel

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Falls dich interessiert, wie diese Formel entstanden ist, genügt es, sie auszumultiplizieren.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Beide linken Klammern haben wir nach der oben angeführten Formel ausmultipliziert. Ich erinnere daran, dass wir die zweite Klammer so aufgelöst haben

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Eine weitere häufig verwendete Formel ist die dritte binomische Formel

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

Es folgt das zweite Beispiel, diesmal mit einem Bruch. Im Zähler und im Nenner stehen Polynome, und wir versuchen sie so umzuformen, dass sich der ganze Bruch schön kürzen lässt. Im ersten Schritt wenden wir im Zähler die erste Formel an, nur umgekehrt. Im Nenner wenden wir die zweite Formel an. Am Ende kürzen wir nur noch (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

Im dritten Beispiel probieren wir das Ausklammern aus. Im Zähler klammern wir zuerst 3a³ aus und zerlegen anschließend die Klammer (4a² − 1) nach der Formel a² − b² auf, wobei wir ausnutzen, dass

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

Im Nenner multiplizieren wir dann zuerst einfach die ersten beiden Glieder, klammern ebenfalls 3a³ aus und kürzen schließlich alles.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Kapitel: Polynome, Polynomdivision, Nullstelle eines Polynoms, Polynome in Faktoren zerlegen

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