Polinomios

Un polinomio es una expresión que contiene la variable x y las operaciones habituales de suma, multiplicación y potenciación con exponente entero no negativo. Estos polinomios también se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir y elevar a una potencia.

Conceptos básicos

Un ejemplo de polinomio sencillo es:

$2 x^{2} + 5 x - 12$

En general, podríamos escribir un polinomio así

$a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x^{1} + a_{0} x^{0},$

donde los números reales que acompañan a x, es decir, a_n, se llaman coeficientes y n se llama grado del polinomio. El número n corresponde a la potencia más alta del polinomio con a_n ≠ 0. Si a_n fuera igual a cero, en el fondo eliminaríamos la variable x a la que pertenece el coeficiente, porque cero por cualquier cosa es cero:

$0 \cdot x^{3} = 0.$

Así, en el caso del primer polinomio, el grado del polinomio es dos, porque la potencia no nula más alta de la variable x es dos. En el caso de otro polinomio

$7 x^{2} + 5 x^{4} + 15 x$

el grado del polinomio sería 4 (el exponente más alto es 4). Normalmente escribimos los polinomios en orden decreciente de los exponentes, para tener en primer lugar el término con la potencia más alta. Así, el polinomio anterior lo podemos reescribir de esta manera:

$5 x^{4} + 7 x^{2} + 15 x .$

Vemos que al polinomio le faltan los términos cuya variable tendría exponente tres y cero. Eso no importa en absoluto: basta imaginar que el coeficiente de esos términos es cero. Podemos escribir, en efecto,

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 7 x^{2} + 15 x^{1} + 0 x^{0} .$

Es cierto que ya tenemos todos los términos, pero el polinomio resulta innecesariamente confuso. Por eso los términos nulos se suelen omitir.

Suma y resta de polinomios

La suma y la resta de polinomios es bastante sencilla. Siempre sumamos o restamos solo los coeficientes de los términos con el mismo exponente. Es decir, se cumple

$a x^{n} + b x^{n} = (a + b) x^{n} .$

Un ejemplo sencillo:

$3 x^{2} + 5 x^{2} = (3 + 5) x^{2} = 8 x^{2}$

Si queremos sumar polinomios más largos, tenemos que agrupar siempre los términos con el mismo exponente en la variable.

$\begin{array}{r} (7 x^{3} + 5 x^{2} + x) + (2 x^{3} - 3 x^{2} + 9 x) = \\ = (7 + 2) x^{3} + (5 - 3) x^{2} + (1 + 9) x . \end{array}$

Si un término con cierto exponente no aparece en el polinomio, se queda sin cambios (imagina que en el segundo polinomio existe ese término, pero con coeficiente cero).

$(x^{3} + 2 x) + (4 x^{2} + 5 x + 3) = x^{3} + 4 x^{2} + 7 x + 3$

La resta de polinomios funciona igual que la suma; solo multiplicamos el segundo polinomio por menos uno, es decir, cambiamos todos los signos. A continuación, un ejemplo:

$(3 x^{2} + 6 x) - (2 x^{2} + 14 x) = (3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x)$

Y esto ya es una suma de polinomios normal, así que se puede sumar como siempre:

$(3 x^{2} + 6 x) + (- 2 x^{2} - 14 x) = x^{2} - 8 x$

Recuerda que, si en el polinomio hay un término negativo, tras esta transformación pasa a ser positivo.

$\begin{array}{rcl} (x^{2} + 2 x) - (3 x^{2} - 10 x) = \\ = & (x^{2} + 2 x) + (- 3 x^{2} + 10 x) = \\ = & - 2 x^{2} + 12 x \end{array}$

Multiplicación de polinomios

Al multiplicar polinomios multiplicamos cada término del primer polinomio por cada término del segundo. Los coeficientes se multiplican normalmente, como números reales corrientes. Los exponentes de las variables, en cambio, solo se suman, según las reglas de cálculo con potencias. Veamos un ejemplo:

$(3 x^{2} + 4 x) \cdot 5 x^{2} = (3 \cdot 5) x^{2 + 2} + (4 \cdot 5) x^{1 + 2} = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Este ejemplo todavía trabajaba con un polinomio de un solo término, así que no mostraba claramente la multiplicación de todos los términos del polinomio. A continuación, un ejemplo algo más extenso:

$\begin{array}{rcl} (x^{3} + 2 x) \cdot (4 x^{2} + 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot 7) x^{3 + 1} + (2 \cdot 4) x^{1 + 2} + (2 \cdot 7) x^{1 + 1} \end{array}$

Si en el polinomio aparece el signo menos, se tiene en cuenta normalmente en la multiplicación.

$\begin{array}{rcl} (x^{3} - 2 x) \cdot (4 x^{2} - 7 x) = \\ = & (1 \cdot 4) x^{3 + 2} + (1 \cdot (- 7)) x^{3 + 1} + (- 2 \cdot 4) x^{1 + 2} + \\ + & (- 2 \cdot (- 7)) x^{1 + 1} = 4 x^{5} - 7 x^{4} - 8 x^{3} + 14 x^{2} \end{array}$

Manipulación de polinomios

Al manipular polinomios, normalmente queremos transformarlos para que queden más sencillos. Para ello usamos cosas como la amplificación, la simplificación, sacar factor común, la aplicación de fórmulas y similares. Convendría conocer estas fórmulas. Aquí usaremos algunas de ellas, que iré mencionando a su debido tiempo. Una fórmula clásica que se usa es

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Si te interesa cómo surgió esta fórmula, basta con desarrollarla.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} & = & (a + b) (a + b) \\ = & a^{2} + a b + b a + b^{2} \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} \end{array}$

Empecemos con un ejemplo sencillo.

$\begin{array}{rcl} (a + b)^{2} + (a + 2 b)^{2} - 3 a \cdot 2 b = \\ = & a^{2} + 2 a b + b^{2} + a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} - 6 a b = \\ = & 2 a^{2} + 5 b^{2} \end{array}$

Hemos desarrollado ambos paréntesis de la izquierda según la fórmula que he indicado arriba. Recuerda que el segundo paréntesis lo hemos desarrollado como

$(a + 2 b)^{2} = a^{2} + 4 a b + 4 b^{2} .$

Otra fórmula clásica es

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b) .$

A continuación, el segundo ejemplo, esta vez con una fracción. En el numerador y en el denominador hay polinomios y vamos a intentar transformarlos para que toda la fracción se pueda simplificar bien. En el primer paso aplicamos en el numerador la primera fórmula, pero al revés. En el denominador aplicamos la segunda fórmula. Al final solo simplificamos (a + b).

$\begin{array}{rcl} \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} & = & \frac{(a + b)^{2}}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{(a + b) (a + b)}{(a + b) (a - b)} \\ = & \frac{a + b}{a - b} \end{array}$

En el tercer ejemplo probaremos a sacar factor común. En el numerador sacamos primero factor común 3a³ y después descomponemos el paréntesis (4a² − 1) según la fórmula a² − b², aprovechando que

$1^{2} = 1^{1} \to (a^{2} - 1^{2}) = (a + 1) (a - 1) .$

En el denominador, primero multiplicamos sencillamente los dos primeros términos, sacamos también factor común 3a³ y al final simplificamos todo.

$\begin{array}{rcl} \frac{12 a^{5} - 3 a^{3}}{2 a^{2} \cdot 3 a^{2} + 3 a^{3}} & = & \frac{3 a^{3} (4 a^{2} - 1)}{6 a^{4} + 3 a^{3}} \\ = & \frac{3 a^{3} (2 a + 1) (2 a - 1)}{3 a^{3} (2 a + 1)} \\ = & 2 a - 1 \end{array}$

Capítulos: Polinomios, División de polinomios, Raíz de un polinomio, Factorización de polinomios

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